10.5. Дифференциальные операции и интегральные формулы теории поля

Формула Остроградского — Гаусса. Пусть векторное поле к непрерывно дифференцируемо в пространственной области — граница этой области, ориентированная внешней нормалью. Тогда справедлива формула Остроградского — Гаусса

где дивергенция вектора а определяется следующим образом:

Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность наружу равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью. В координатной форме формула Остроградского — Гаусса имеет вид

Формула Стокса. Пусть поле непрерывно дифференцируемо в некоторой области пространства, содержащей ориентированную поверхность Ориентация поверхности однозначно определяет направление обхода границы С этой поверхности: если смотреть с конца выбранного вектора нормали к то обход границы С должен казаться происходящим против хода часовой стрелки. При этом циркуляция поля вдоль С равна потоку вектора а через

В координатной форме формула Стокса имеет вид

Формула Грина. Для плоского поля из формулы Стокса получается формула Грина:

где контур С области на плоскости х, у проходится против часовой стрелки.

Оператор Гамильтона и дифференциальные операции первого порядка. Оператором Гамильтона или набла-вектор ом называется символический вектор

С его помощью можно кратко записать следующие дифференциальные операции:

1) градиент скалярной функции

2) дивергенцию векторного поля

(скалярное произведение набла-вектора на вектор а);

3) ротор векторного поля

(векторное произведение набла-вектора на вектор а).

Каждое скалярное поле порождает векторное поле и. Векторное поле порождает два поля: скалярное и векторное

Векторные дифференциальные операции второго порядка. Имеют место следующие дифференциальные соотношения:

где А — оператор Лапласа