12.5. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Теорема о суперпозиции частных решений. Пусть функция является частным решением линейного неоднородного дифференциального уравнения а функция — частным решением уравнения Тогда частным решением у уравнения вида является сумма

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь характеристическое уравнение имеет комплексные корни Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид Легко проверить, что неоднородное уравнение имеет частное решение а уравнение — частное решение Отсюда следует, что частное решение у исходного неоднородного уравнения равно сумме так что искомое общее решение дается формулой

Метод вариации постоянных. Для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ существует общий метод, называемый методом вариации постоянных. Рассмотрим его на примере линейного неоднородного ДУ второго порядка:

Пусть известно общее решение соответствующего однородного уравнения:

где — линейно независимые решения однородного — произвольные постоянные. Частное решение у неоднородного ДУ ищут в виде т. е. произвольные постоянные заменяются неизвестными функциями х. Эти функции

находят из системы линейных алгебраических уравнений для определения производных

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь общим решением однородного уравнения является функция Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Для неизвестных функций составляем систему (3):

Решив эту систему, найдем Отсюда, интегрируя, получим Таким образом, искомое частное решение неоднородного ДУ дается формулой а его общее решение имеет вид

Поиск частных решений неоднородных уравнений специального вида. Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами поиск частного решения существенно облегчается, если правая часть имеет так называемый специальный вид. При этом подбор частного решения производится методом неопределенных коэффициентов, который основан на знании формы этого решения, зависящей от особенностей не только правой, но и левой части уравнения. Различные формы частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного ДУ и от корней характеристического уравнения приведены в табл. 2.

Отметим, что — полные многочлены степени (т.е. в их записи присутствуют все степени х от нулевой до ). В третьем и четвертом случаях в записи частного решения всегда присутствуют два многочлена одинаковой степени равной наибольшей из степеней (в частности, если или решение все равно следует искать в полном виде, указанном в таблице). Коэффициенты многочленов находят методом неопределенных коэффициентов.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни поэтому общее решение однородного уравнения дается формулой Как следует из таблицы, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде Подставляя это выражение в исходное ДУ и приравнивая коэффициенты при получим линейную систему алгебраических уравнений, откуда найдем следующие значения неопределенных коэффициентов: . В итоге имеем общее решение исходного уравнения

ТАБЛИЦА 2. Вид частных решений неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами Для правой части специального вида (см. скан)