3.3. Решение задан статики

Общая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов. Необходимо:

1. Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Нарисовать расчетную схему — упрощенный рисунок, на который вынесены лишь

необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.

2. Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.

3. Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями связей. После такой замены тело становится свободным.

4. Проверить выполнение необходимого условия статической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчетной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.

5. В случае выполнения этого условия составить систему уравнений равновесия, решить ее и исследовать полученные результаты.

При решении задачи желательно действовать строго по описанной схеме.

Опыт показывает, что наиболее часто ошибки допускаются при замене связей их реакциями. Остановимся подробнее на этом вопросе.

Правила расстановки сил реакции механических связей.

Каждая механическая связь представляет либо тело, либо механическое устройство, которое накладывает какие-либо ограничения на перемещение тела в пространстве. При этом, в зависимости от вида связи, некоторые перемещения запрещены, а некоторые — разрешены. Это обстоятельство позволяет заранее, не находя численных значений силовых факторов действия связи, указать на некоторые качественные особенности. Правило, которому необходимо следовать при замене связей силами реакций, заключается в следующем: реакция связи в общем случае может состоять из двух силовых факторов — силы, приложенной в точке наложения связи, и пары сил.

Если связь запрещает поступательное перемещение тела, появляется сила реакции, направление которой противоположно запрещенному перемещению. Если связь запрещает поворот тела, то возникает пара сил реакции связи, которая обеспечивает это запрещение, при этом вектор момента пары будет направлен вдоль оси запрещенного поворота.

Некоторые типы механических связей.

1. Идеально гибкая нерастяжимая невесомая нить. На рис. 14 изображена нить, прикрепленная к твердому телу в точке В. Рассматриваемая связь наложена в точке В, в силу идеальной гибкости нити разрешен поворот тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку. Это означает, что пары сил реакции не возникает.

Для этого типа связи разрешены малые поступательные перемещения тела, при которых точка В движется по поверхности сферы

Рис. 14

Рис. 15

радиуса В К с центром в точке поэтому в направлении разрешенных перемещений сила реакции возникнуть не может. Запрещено поступательное перемещение тела в направлении К Л, так как нить нерастяжима. Это означает, что появляется сила реакции приложенная к телу в точке й, направленная по прямой

2. Аналогично направляются силы реакции, когда связь осуществляется посредством либо свободного опирания двух тел, поверхность одного из которых является абсолютно гладкой (рис. 15), либо подвижного шарнира (рис. 16).

Рис. 16.

3. Жесткая заделка. Связь запрещает любое поступательное перемещение тела, поэтому возникает сила реакции связи направление которой неизвестно. Ее обычно представляют тремя составляющими, параллельными координатным осям. Жесткая заделка запрещает поворот вокруг любой оси, проходящей через точку , поэтому возникает пара сил реакции, момент которой неизвестен ни по величине, ни по направлению. Обычно неизвестную пару заменяют эквивалентной системой трех пар, моменты которых направлены вдоль осей координат (рис. 17).

Рис. 17.

Если на тело наложено несколько связей, то каждая из них исследуется независимо от остальных связей и приложенных к телу сил.

Неизвестными в задачах статики могут быть не только реакции связей, но и углы, линейные размеры конструкций и др. параметры.

Рис. 18.

Рис. 19.

Пример 1. Найти реакцию жесткой заделки В изогнутой невесомой балки (рис. 18), находящейся под действием силы и пары сил с моментом при следующих данных:

Решение. Будем следовать общей схеме решения задач о равновесии тела.

1. Реакция жесткой заделки В может быть найдена из исследования равновесия балки, поэтому в качестве твердого тела выбираем балку Отдельно рисуем расчетную схему (рис. 19).

2. Расставляем на схеме активные силовые факторы, действующие на балку, — силу и пару сил которую изображаем при помощи дуговой стрелки в направлении вращения пары (в рассматриваемом случае по ходу часовой стрелки).

3. Балка несвободна, так как на нее наложена связь — жесткая заделка в точке В. Делаем балку свободной: отбрасываем связь, заменяя ее реакцией связи. Реакция заделки состоит из силы неизвестной ни по величине, ни по направлению, и пары сил с моментом неизвестным ни по величине, ни по направлению вращения.

Вводим систему координат как показано на рисунке. Поскольку направление силы неизвестно, представим ее двумя составляющими: . Неизвестную пару сил реакции изобразим дуговой стрелкой. Отметим, что не нужно гадать, куда на самом деле направлены составляющие и дуговая стрелка момента пары — все это выяснится после решения задачи. Например, на расчетной схеме в была нами направлена влево лишь потому, что при этом она оказалась заметнее на рисунке.

Заменим эквивалентной системой сил, состоящей из двух составляющих направленных параллельно координатным осям

4. Теперь на расчетной схеме оказалась свободная балка, находящаяся под действием сил, расположенных в одной плоскости. В этом случае система уравнений равновесия состоит из трех уравнений. Количество неизвестных — — равно трем. Это означает, что количество неизвестных и количество уравнений совпадают и необходимые условия статической определимости задачи выполнены.

5. Воспользуемся основной формой уравнений равновесия для плоской системы сил (3), выбрав в качестве моментной точки центр В.

Основная опасность при составлении уравнений равновесия — возможность потери какой-либо силы, либо пары сил, поэтому рекомендуется выписать в строке все силы и все пары сил, приложенные к телу, а уравнения равновесия составлять под этой строкой.

Подставив исходные данные, найдем решение задачи

Знаки ответов говорят о том, что направление составляющей противоположно указанному на расчетной схеме, а направления составляющей У в и дуговой стрелки соответствуют изображенным.

На схеме (рис. 19) не рекомендуется зачеркивать и рисовать заново с учетом знака ответа, так как при этом становятся невозможными проверка правильности составления уравнений равновесия и интерпретация результатов.

Сила реакции заделки является геометрической суммой ортогональных составляющих и У в у поэтому ее величина может быть найдена по формуле

Пример 2. Конструкция, состоящая из двух невесомых стержней и изображена на рис. 20. Стержни имеют одинаковую длину и соединены между собой и с основанием при помощи шарниров, причем Левый стержень в средней точке нагружен горизонтальной силой правый стержень нагружен парой сил Определить опорные реакции и давление в промежуточном шарнире

Рис. 20.

Решение. Рассмотрим равновесие каждого стержня в отдельности, для чего расчленим конструкцию на две части — стержни и расставим активные силы и реакции связей.

Рис. 21.

Расчетная схема задачи после описанных действий представлена на рис. 21, система координат — общая для обоих стержней. Сила действующая на стержень со стороны стержня представлена двумя составляющими и сила действия стержня на стержень — составляющими Поскольку сила действия и сила противодействия должны удовлетворять аксиоме действия-противодействия, то и их составляющие будут связаны соотношениями: , т.е. составляющие равны и противоположно направлены, и это уже учтено на схеме. При этом алгебраические значения составляющих будут связаны соотношениями

Количество неизвестных — - равно восьми. Равновесие каждого стержня будет описываться тремя уравнениями равновесия; вместе с двумя уравнениями (4) они образуют систему 8 уравнений с 8 неизвестными (необходимые условия статической определимости задачи выполняются).

Ниже выписаны уравнения равновесия:

Решив эту систему уравнений с учетом равенств (4), в итоге получим: