4.3. Предел последовательности

Некоторые определения. Если каждому натуральному числу сопоставлено некоторое число то тем самым определена (числовая

последовательность которую кратко обозначают называется общим членом последовательности.

Пример 1. Для последовательности имеем и т. д.

Последовательность называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если существует такое число М, что (соответственно для всех

Предел последовательности. Число называется пределом последовательности если Для любого числа существует такое число что при всех

Если является пределом последовательности то пишут или при

Предел постоянной последовательности существует и равен с, т. е. . В этом случае неравенство принимает вид и выполняется при всех

Пример 2. Показать, что

Решение. Составим разность Неравенству удовлетворяют натуральные числа Таким образом, для каждого положительного числа найдется число такое, что при будет иметь место неравенство

Последовательность может и не иметь предела, например, последовательность Последовательность, предел которой существует, называется сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

2. Любая сходящаяся последовательность ограничена. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

3. Если последовательность сходится к числу , то любая ее подпоследовательность также сходится к числу

4. Если последовательности сходятся, то последовательности также сходятся, причем

5. Если последовательности сходятся и при всех выполняется неравенство то

6. Если при всех выполняются неравенства то и

Монотонные последовательности. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если для любого выполняется неравенство Все указанные последовательности называются монотонными.

Теорема. Неубывающая (невозрастающая) и ограниченная сверху (соответственно снизу) последовательность имеет конечный предел.

Пример 3. Последовательность — как можю доказать, возрастает и ограничена сверху, следовательно, она сходится. Ее предел обозначается буквой

Логарифмы чисел по основанию называются натуральными, а обозначается

Если члены последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине с ростом последовательность называется бесконечно большой или «стремящейся к бесконечности». Обозначение: Если при этом члены последовательности, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), то говорят, что стремится к «плюс (минус) бесконечности», и пишут Например,