6. Функции нескольких переменных

6.1. Точечные множества. Функции. Предел и непрерывность

Множества на плоскости и в пространстве. Окрестностью радиуса точки (на плоскости или в пространстве) называется множество точек М таких, что где — расстояние между точками и М (соответствующие формулы для приведены в разд. 1.1 и разд. 2.1). Внутренней точкой множества называется такая точка, в некоторой окрестности которой лежат только точки из Открытым называется множество, все точки которого внутренние. Граничной точкой множества называется точка, в любой окрестности которой находятся как точки множества так и точки, не принадлежащие Замкнутым называется множество, содержащее все свои граничные точки. Ограниченным называется множество, которое содержится в некоторой окрестности начала координат; если такой окрестности не существует, множество называется неограниченным.

Функции двух и трех переменных. Говорят, что на множестве задана (числовая) функция, если каждой точке поставлено в соответствие единственное число. Если множество принадлежит плоскости, то точка определяется двумя координатами х, у, и функция называется функцией двух переменных] если лежит в пространстве, то говорят о функции трех переменных. Множество называется областью определения функции. Например, функция определена в замкнутом круге

Графиком функции двух переменных является поверхность в трехмерном пространстве. Например, графиком функции с является плоскость, а функции - полусфера.

Линия уровня функции — это линия на плоскости х, у, во всех точках которой функция принимает одно и то же значение уравнение линии уровня: Поверхность уровня функции — это поверхность, во всех точках которой функция принимает одно и то же значение уравнение поверхности уровня:

Функция называется ограниченной на множестве если существует такая константа С, что для всех выполняется неравенство .

Предел и непрерывность. Пусть переменная точка М стремится к точке т.е. расстояние При этом значения функции могут стремиться к некоторой константе .

Число b называется пределом функции в точке если для любого (сколь угодно малого) найдется число такое, что для всех точек М из области определения функции, удовлетворяющих условию будет выполняться неравенство Записывают это так:

Функция называется непрерывной в точке если Функция называется непрерывной на множестве если она непрерывна в каждой точке Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве и достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.