Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.6. Непрерывность
Непрерывные функции. Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке (и ее окрестности) и
У непрерывных функций малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции , т. е. при (Это свойство нередко используют в качестве определения непрерывной функции.)
Функция называется непрерывной справа в точке если она определена в этой точке (и справа от нее)
Функция называется непрерывной слева в точке если она определена в этой точке (и слева от нее) и
Свойства непрерывных функций:
1. Если функции непрерывны в точке а, то функции также непрерывны в этой точке.
2. Если непрерывна в точке а и , то существует такое число что (соответственно ) при .
3. Функция непрерывная в каждой точке отрезка ограничена на этом отрезке и достигает на нем своего наибольшего значения М и наименьшего значения .
4. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке любое значение с .
5. Если непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке то на отрезке (соответственно на отрезке определена непрерывная и возрастающая (убывающая) обратная функция
6. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке а.
Замечание. Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке интервала, входящего в ее область определения.
Точки разрыва функции. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции если существуют конечные
односторонние пределы но не выполняются соотношения Величина называется скачком функции в точке а. В частности, если то точка а называется точкой устранимого разрыва.
Примеры функций с точкой разрыва первого рода.
1. Функция имеет в точке разрыва скачок, равный 1.
2. Функция имеет устранимый разрыв в точке
Точка а называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Примеры функции с точкой разрыва второго рода.
1. Функция — имеет разрыв второго рода в точке (так как у этой функции не существует односторонних пределов при .
называется непрерывной в точке 
если она определена в этой точке (и ее окрестности) и 
соответствует малое изменение функции 
, т. е. 
при 
(Это свойство нередко используют в качестве определения непрерывной функции.)
называется непрерывной справа в точке 
если она определена в этой точке (и справа от нее) 
называется непрерывной слева в точке 
если она определена в этой точке (и слева от нее) и 
непрерывны в точке а, то функции 
также непрерывны в этой точке.
непрерывна в точке а и 
, то существует такое число 
что 
(соответственно 
) при 
.
непрерывная в каждой точке отрезка 
ограничена на этом отрезке и достигает на нем своего наибольшего значения М и наименьшего значения 
.
функция 
принимает на этом отрезке любое значение с 
.
непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке 
то на отрезке 
(соответственно на отрезке 
определена непрерывная и возрастающая (убывающая) обратная функция 
непрерывна в точке 
, а функция 
непрерывна в точке 
то сложная функция 
непрерывна в точке а.
если существуют конечные
но не выполняются соотношения 
Величина 
называется скачком функции в точке а. В частности, если 
то точка а называется точкой устранимого разрыва.
имеет в точке разрыва 
скачок, равный 1.
имеет устранимый разрыв в точке 
не существует или равен бесконечности.
— имеет разрыв второго рода в точке 
(так как у этой функции не существует односторонних пределов при 
.
имеет бесконечный разрыв в точке 