2.4. Векторное и смешанное произведения
Векторным произведением векторов a и b называется вектор 
определяемый условиями:
1) вектор с перпендикулярен векторам a и b;
2) 
, где 
— угол между векторами a и b;
3) 
образуют правую тройку векторов, т.е. если начала векторов 
и с поместить в одну точку, то кратчайший поворот вектора а к 
наблюдается с конца вектора с происходящим против часовой стрелки (рис. 8).
Рис. 8.
Векторные произведения ортов: 
Если 
Свойства векторного произведения:
3. 
(k — число).
4. Векторы 
и 6 коллинеарны тогда и только тогда, когда 
5. Площадь 
параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна модулю их векторного произведения: 
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами 
Решение. Имеем 
Вычислим
Поэтому 
Смешанным произведением векторов 
называется число 
, равное скалярному произведению вектора а на вектор 
, т.е. 
.
Свойства смешанного произведения:
1) При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:
2) Векторы 
компланарны (т.е. параллельны одной плоскости) тогда и только тогда, когда 
3) Если векторы 
не компланарны, то на них можно построить параллелепипед; его объем 
Объем пирамиды, построенной на векторах 
, составляет одну шестую часть объема указанного параллелепипеда: 
Если 
то их смешанное произведение вычисляется как определитель третьего порядка:
