7.5. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы, приводящиеся к интегралам от рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций сводится к интегрированию рациональных функций при помощи подходящей замены. Далее считается, что — рациональная функция своих аргументов.

1. Интеграл вида вычисляется с помощью подстановки (Частный случай такого преобразования использован при решении третьего примера в разд. 7.3.)

2. Интеграл вида вычисляется с помощью подстановки

Применение тригонометрических подстановок. Рассмотрим интегралы вида

Функция с при помощи выделения полного квадрата из подкоренного выражения приводится к одному из следующих видов

В каждом из этих трех случаев применяют различные подстановки:

Пример. Вычислить интеграл

Решение. Здесь и подынтегральное выражение можно представить в виде: Поэтому рассматриваемый интеграл соответствует случаю 3) при Делая подстановку последовательно имеем

Интеграл от дифференциального бинома (где — постоянные, — рациональные числа) выражается в элементарных функциях в трех случаях:

— целое число (используется замена где — наименьшее общее кратное знаменателей дробей тип);

- целое число (используется замена где — знаменатель дроби

— целое число (используется замена где — знаменатель дроби