5.3. Теорема об изменении количества движения

Количеством движения точки массы движущейся со скоростью называется вектор

Количеством движения механической системы называется главный вектор количеств движения всех точек системы:

Можно доказать, что количество движения системы равно количеству движения воображаемой материальной точки, имеющей массу системы и движущейся со скоростью центра масс:

Импульс силы. Пусть к движущейся материальной точке приложена сила Р (кроме нее к точке могут быть приложены и другие силы, но сейчас мы выделили только одну из них).

Элементарным импульсом силы Р за элементарный промежуток времени называется вектор

Импульсом силы Р законечный промежуток времени от до называется вектор :

Проекции импульса силы на координатные оси могут быть вычислены по формулам

Разные формулировки теоремы о количестве движения.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил системы:

или, по-другому: дифференциал количества движения системы равен геометрической сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на точки системы:

Проектируя на оси координат (например, на ось х), получим

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме: изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил системы за тот же промежуток времени:

где векторы и соответствуют моментам времени и — импульсы внешних сил системы за промежуток времени от до . В проекциях на координатные оси (например, на ось

При использовании теоремы применительно к одной материальной точке следует иметь в виду, что любая сила, приложенная к точке, является внешней.

Закон сохранения количества движения.

Закон сохранения количества движения механической системы:

Закон сохранения проекции количества движения на какую-либо ось (например, на ось

Пример. По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью движется прямоугольный параллелепипед массы на верхней грани которого покоятся две самоходные тележки с массами (рис. 29). В некоторый момент времени тележки начинают двигаться навстречу друг другу, при этом законы их движения по отношению к параллелепипеду задаются функциями

Найти зависимость скорости параллелепипеда от времени.

Рис. 29.

Решение. В систему включим три тела — параллелепипед и обе тележки. Изобразим внешние силы — активные силы веса также реакцию плоскости .

Все они вертикальны, и сумма их проекций на горизонталь равна нулю. Поэтому применим закон (4) о сохранении проекции количества движения системы на ось х — запишем в момент времени затем в произвольный момент времени и приравняем полученные величины:

В последнем выражении скорости тележек подсчитывались в соответствии с теоремой о скоростях при сложном движении точки. После приравнивания правых частей равенств и проведения алгебраических выкладок получим