9.4. Определение и свойства тройного интеграла

Определение тройного интеграла. Пусть функция определена в некоторой области пространства. Разобьем на

частей (ячеек), не имеющих общих внутренних точек; обозначим через диаметр полученного разбиения т.е. максимальный из диаметров ячеек (диаметром области в пространстве называется диаметр минимального шара, содержащего эту область). Выберем в каждой из ячеек по произвольной «опорной» точке и составим интегральную сумму где — объем ячейки. Если существует конечный предел сумм при (не зависящий ни от вида разбиения ни от выбора «опорных» точек), то он называется тройным интегралом от функции по области и обозначается

Свойства тройного интеграла. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

1. Линейность. Если функции интегрируемы по области то

где a и b — некоторые числа.

2. Аддитивность. Если интегрируема по каждой из областей не имеющих общих внутренних точек, то

3. Теорема об оценке. Если в области выполняются неравенства то

где V — объем области

4. Теорема о среднем. Если непрерывна в области то найдется хотя бы одна внутренняя точка такая, что

Число называется средним значением функции в области

5. Интегрирование неравенств. Если в области то

6. Теорема о модуле интеграла: