2.9. Явления переноса в газах

Средняя длина свободного пробега. Среднее число столкновений в единицу времени выделенной молекулы с другими молекулами газа:

где — концентрация молекул, — средняя скорость движения молекул, а с — эффективное сечение для упругих соударений молекул. В модели твердых шариков где — диаметр шарика. Множитель учитывает движение встречных молекул; в качественной теории явлений переноса его обычно опускают.

Для определения числа столкновений траекторию молекулы, имеющую вид ломаной линии, окружают цилиндрической поверхностью радиуса Движущаяся молекула столкнется с любой неподвижной молекулой, центр которой окажется внутри этого цилиндра. За единицу времени молекула проходит расстояние объем цилиндра равен число попавших в него молекул равно

Полное число соударений между молекулами в единице объема в единицу времени равно:

Средняя длина свободного пробега молекулы равна

Эффективное сечение некоторого процесса взаимодействия между сталкивающимися частицами (по отношению к выделенному результату этого взаимодействия) определяют следующим образом. Рассмотрим неподвижную молекулу (мишень) и налетающий на нее пучок молекул интенсивности (интенсивностъ

пучка — число частиц, проходящих через единичную площадку, перпендикулярную скорости молекул). Эффективным сечением процесса называют отношение числа столкновений в единицу времени, приведших к выделенному результату, к интенсивности пучка:

Ослабление пучка молекул, распространяющихся в газе, на пути равно

где а — сечение упругого рассеяния молекул, — число рассеивающих центров на пути (на единицу площади), Интегрируя, получим зависимость интенсивности пучка от пройденного им расстояния:

т.е. вероятность того, что молекула испытает соударение на интервале равна Среднее расстояние, пройденное молекулой до столкновения, равно

Качественная модель явлений переноса в газах. Явления вязкости, теплопроводности и диффузии объясняются переносом импульса, энергии, концентрации за счет хаотического теплового движения. Вязкостью называют возникновение силы трения между параллельно движущимися слоями, если скорости слоев различны.

Если скорость направленного движения и параллельна оси х и меняется только в направлении оси у (рис. 22), то между слоями жидкости возникает сила, пропорциональная площади и градиенту скорости и:

где — коэффициент вязкости (или просто вязкость). Возникновение силы объясняется переносом вдоль оси у импульса молекулами, пересекающими площадку за счет теплового движения.

Если в направлении у меняется не скорость направленного движения молекул, а температура газа, то поток теплоты в направлении оси у равен

где — коэффициент теплопроводности (или просто теплопроводность).

Рис. 22.

Если вдоль оси у меняется концентрация меченых молекул газа (полная концентрация должна быть постоянной), то поток меченых

молекул в направлении оси у (самодиффузия) определяется законом Фика:

где — коэффициент диффузии.

Обозначим за величину, поток которой вдоль оси у нас интересует. В случае вязкости это — импульс направленного движения молекул: в случае теплопроводности — средняя энергия теплового движения: — удельная теплоемкость), в случае диффузии: Будем считать, что каждая молекула газа переносит через площадку то значение параметра которое имеют (в среднем) молекулы газа в том месте, где произошло ее последнее соударение. Тогда для потока величины в направлении оси у можно получить выражение

Для качественной оценки можно считать, что после соударения молекула летит в одном из шести направлений, задаваемых осями координат. С расстояния у прилетят молекулы, испытавшие соударение в цилиндре объемом полетевшие в направлении —у и не испытавшие более соударений на пути у. С учетом (54), (55), (57) получим Интегрируя по у, получим вклад молекул, летящих со стороны положительных у. Вычитая вклад противоположно летящих молекул, приходим к формуле (61).

Формулы для коэффициентов переноса.

1. Подставляя в формулу (61), получим поток импульса, который равен силе трения (58) для единичной площади. Для вязкости имеем:

2. Подставляя в формулу (61) и сравнивая с (59), находим коэффициент теплопроводности:

3. Подставляя в формулу (61) и сравнивая с (60), получим выражение для коэффициента диффузии:

Из формул (62) — (64) следуют два важных факта:

1) Длина свободного пробега обратно пропорциональна что видно из уравнения (55); поэтому вязкость и теплопроводность газов не зависят от давления (закон Максвелла). Этот вывод остается верным до тех пор, пока длина свободного пробега мала по сравнению с размерами сосуда.

2) Отношение вязкости и теплопроводности не зависит от температуры.

Если длина пробега становится сравнимой с размерами сосуда (разреженный газ), то вязкость и теплопроводность начинают зависеть от плотности. Например, при вычислении потока теплоты между стенками, расположенными на расстоянии (ультраразре-женный газ), можно считать, что после удара о стенку, имеющую температуру каждая молекула приобретает (в среднем) энергию летит без соударений к противоположной стенке и отдает ей энергию Из формулы (35) следует, что число попадающих на стенку молекул равно Отсюда получим: