14.2. Основные понятия теории вероятностей

Основные определения. Элементарное событие — любой из взаимоисключающих исходов рассматриваемого опыта (испытания). Пространство элементарных событий — множество всех элементарных событий. Событие — любое подмножество А множества П. Событие А наступает тогда, когда исходом опыта является одно из элементарных событий, составляющих А.

Пример 1. Пусть опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Здесь имеется шесть исключающих друг друга исходов, так что пространство элементарных событий где элементарное событие — исход опыта, состоящий в выпадении к очков. Если событие А состоит в появлении нечетного числа очков, то А наступает тогда, когда исходом опыта является одно из элементарный событий

События принято условно изображать в виде некоторых фигур на плоскости (диаграмм Эйлера — Венна), а элементарные события — в виде точек, принадлежащих этим фигурам.

Суммой (объединением) событий А и В называется событие , которое состоит из элементарных событий, входящих хотя бы в одно из событий А и В. Произведением (совмещением) событий А и В называется событие которое состоит из элементарных событий, входящих в оба события Эти понятия очевидным образом обобщаются на случай любого числа событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие А, которое наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает. Множество называется достоверным событием (в результате опыта оно обязательно наступает). Пустое множество называется невозможным событием (в результате опыта оно заведомо не наступит).

События А и В называются несовместными, если Справедливы соотношения . Говорят, что события образуют полную группу событий, если

Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А является частным случаем В (или что В является следствием А, или что А влечет за собой В). В этом случае применяется запись , а каждое элементарное событие и входит и в событие В. События А и В называются равносильными если каждое из них является частным случаем другого.

Различные определения вероятности.

Статистическое определение вероятности. Пусть опыт проведен раз и при этом событие А наступило к раз. Частотой события А в данной серии опытов называется отношение Вероятностью события А называется число, около которого колеблется частота события А в длинных сериях испытаний.

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий состоит из равновозможных элементарных событий. Тогда вероятность события А равна , где число элементарных событий, входящих в А (число благоприятных исходов). Так, в примере 1 вероятность выпадения грани с нечетным числом очков равна

Пример 2. В ящике 15 шаров, из которых 5 белых и 10 черных. Наугад вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 белых.

Решение. Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е. Число благоприятных исходов равно произведению Искомая вероятность, согласно классическому определению, равна -

Геометрическая вероятность. При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства элементарных событий рассматривается произвольное множество на прямой, на плоскости или в пространстве. Испытание интерпретируется как случайный выбор точки в области а событие А — как попадание точки в некоторую подобласть А области Предполагается, что вероятность выбрать точку в области А пропорциональна мере области (т.е. длине, площади или объему) и не зависит от расположения и формы области. Вероятность события А определяется формулой

Отметим, что всегда справедливы соотношения