7.2. Формула Эйлера
Таким образом, при 
решение задачи о равновесии стержня неединственно. Анализ условий этой неединственности позволяет получить формулу для величины 
Рис. 31.
Рассмотрим шарнирно опертый центрально сжатый стержень в слегка изогнутом состоянии (рис. 31). Изгибающий момент в поперечном сечении стержня равен 
где прогиб 
задает криволинейную ось стержня. Кривизна к изогнутой оси при малых прогибах стержня 
равна
При анализе деформации изгиба была получена формула (3) гл. 5, связывающая кривизну и изгибающий момент,
в которой согласованы правила знаков для кривизны 
и момента М.
Отсюда приходим к дифференциальному уравнению изогнутой оси стержня
где обозначено 
Граничные условия учитывают закрепления концов стержня:
Уравнение (1) при граничных условиях (2) имеет очевидное тривиальное решение 
соответствующее прямолинейной форме равновесия. Нас интересуют ненулевые решения.
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид
Из первого граничного условия следует, что 
а из второго — 
Сокращая на 
приходим к равенству
которое будет выполнено, если 
или
Таким образом, установлено, что если величина сжимающей силы 
принимает дискретные значения, даваемые формулой (3), то наряду с прямолинейным возможны искривленные состояния равновесия стержня, имеющие форму синусоиды
Из (3) при 
получаем формулу Эйлера для критической силы
Более точная теория показывает, что неоднозначность форм равновесия имеет место при всех силах 
превышающих эйлерову силу (4).
