2.6. Прямая в пространстве

Каждая прямая в пространстве может быть задана системой двух линейных уравнений

(эти уравнения определяют две плоскости, пересечением которых и служит данная прямая).

Обратно: любая совместная система уравнений вида (3), левые части которых не пропорциональны, задает некоторую прямую.

Положение прямой полностью определяется какой-нибудь ее точкой и направляющим вектором параллельным прямой. При этом прямая задается следующими параметрическими уравнениями:

где параметр t принимает любые действительные значения.

Если все координаты направляющего вектора не равны нулю, прямая может быть также задана следующими каноническими уравнениями:

Углы образуемые прямой соответственно с осями координат находятся по формулам

Прямая, проходящая через две данные точки представляется уравнениями

Если прямая задана уравнениями (3), т.е. как линия пересечения плоскостей с нормальными векторами то ее направляющий вектор I может быть найден как векторное.произведение векторов Точка находится как одно из решений системы (3).

Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной уравнениями

Решение. Имеем Подставив в уравнения прямой значение получим систему: из которой найдем Таким образом, канонические уравнения прямой примут вид или

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами и вычисляется по формуле