12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Теорема существования и единственности для порядка, разрешенного относительно старшей производной

формулируется следующим образом. Если функция непрерывна, а ее частные производные по аргументам ограничены в некоторой области, содержащей значения то существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Задача отыскания такого решения называется задачей Коши для порядка.

Для уравнения второго порядка с начальными условиями — заданные числа) геометрический смысл этой теоремы состоит в следующем: через точку плоскости х, у проходит единственная интегральная кривая уравнения с заданным угловым коэффициентом касательной

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид

где — произвольные постоянные (число произвольных постоянных равно порядку уравнения). Конкретные значения постоянных определяют некоторое частное решение уравнения.

Иногда общее решение задается неявным образом в виде соотношения

называемого общим интегралом порядка. При соответствующем выборе значений постоянных из общего решения можнр получить любое (однозначно определяемое начальными условиями) частное решение данного уравнения.

Простейшие дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

1. Уравнение вида

решается последовательным -кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании возникает одна произвольная постоянная, а в окончательном результате — произвольных постоянных.

Общее решение этого уравнения можно записать в виде

где может быть выбрано произвольно.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Последовательным интегрированием находим: — общее решение исходного ДУ.

2. Уравнение, не содержащее явно у:

Замена с учетом формулы приводит к ДУ первого порядка: Найдя отсюда и интегрируя затем равенство получают искомую функцию

Аналогичная замена используется для решения уравнений более высокого порядка, не содержащих явно у.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Замена приводит к уравнению первого порядка: Его общее решение дается формулой Тогда т. е. - общее решение исходного ДУ второго порядка.

3. Уравнение, не содержащее явно

Подстановка (у играет роль независимой переменной) с учетом равенств приводит к уравнению первого порядка: Решив это уравнение, найдем Возвращаясь к искомой функции у, получим для нее ДУ с разделяющимися переменными:

Аналогичная замена используется для решения уравнений более высокого порядка, не содержащих явно х.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Замена приводит к уравнению первого порядка: Отсюда (учитывая отдельно решение или имеем уравнение с разделенными переменными общее решение которого дается формулой Тогда . В итоге получим общий интеграл исходного уравнения: