3.8. Энергия электростатического поля

Энергия системы зарядов. Энергия взаимодействия системы зарядов определяется как работа внешних сил, необходимая для создания этой системы, или как работа, совершаемая силами поля при ее уничтожении. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна энергии одного заряда в поле, создаваемом другим зарядом:

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

Здесь потенциал, создаваемый всеми остальными зарядами в той точке, где находится заряд. Если переписать эту формулу для заряда, непрерывно распределенного по поверхности или объему в ограниченной области пространства, то получим:

Хотя формула (33) получена формальным обобщением (32), между ними есть принципиальные различия. В формуле (32) — потенциал, создаваемый остальными зарядами, а в (33) — потенциал всех зарядов в точке (вклад элемента объема или поверхности при уменьшении размеров стремится к нулю). Но самое главное — (32) учитывает только энергию взаимодействия, после разнесения точечных зарядов далеко друг от друга остается собственное поле каждого заряда; формула (33) позволяет вычислить полную энергию системы непрерывно распределенных зарядов (при разделении системы на все более мелкие части энергия стремится к нулю).

Пример 1. Вычислить энергию равномерно заряженного шара радиусом . Решение. Подставляя в (33) потенциал поля шара (см. пример 3 из разд. 3.4), получим

Энергия уединенного проводника. Все заряды на проводнике находятся при одинаковом потенциале, равном потенциалу проводника. Из формулы (33) имеем

где С — электроемкость проводника (см. разд. 3.5). Это выражение получается и прямым расчетом работы электрического поля при постепенном удалении всего заряда на бесконечность: Например, энергия уединенной о проводящей сферы равна

где — диэлектрическая проницаемость среды вокруг сферы.

Энергия конденсатора. Из формулы (33) получим

Поле в конденсаторе можно уничтожить, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую: Например, энергия плоского конденсатора равна

Плотность энергии электрического поля. При полевом подходе надо говорить не об энергии взаимодействующих зарядов, а об энергии окружающего их электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля в пустом пространстве зависит только от напряженности поля:

Это выражение верно для любого распределения зарядов (его можно получить, рассмотрев однородное поле плоского конденсатора).

Исходя из уравнений поля (см. разд. 3.4), формулу (33) можно преобразовать к виду

где интегрирование ведется по всему пространству.

Например, при вычислении энергии заряженного шара (пример 1) по формуле (33) интегрирование производилось по объему шара, однако (38) показывает, что только часть энергии поля заключена внутри шара, а часть — в окружающем шар пустом пространстве. Формулы (33) и (38) позволяют вычислить полную энергию поля во всем пространстве только если: а) отсутствуют точечные заряды и заряды, распределенные по линии; б) заряды распределены по конечной области пространства. Однако (38) позволяет вычислять энергию, сосредоточенную в конечной области пространства, даже если полная энергия бесконечна.

В случае диэлектрика плотность энергии оказывается в раз больше:

Первый член в последнем выражении представляет собой непосредственно энергию электрического поля в диэлектрике, а второй (равный — работу, совершаемую полем над молекулами при его включении. Это выражение можно обобщить на случай, когда не пропорциональны Р (сегнетоэлектрики, сильные поля). Для этого надо рассмотреть зарядку плоского конденсатора, заполненного таким диэлектриком:

Закон сохранения энергии и вычисление сил. Для вычисления сил, действующих на заряженное или прляризованное тело в электрическом поле, надо рассмотреть медленное изотермическое изменение его положения. При этом работа внешних сил плюс работа источников равна изменению энергии поля. Так как тело находится в механическом равновесии, то работа внешних сил равна работе силы, действующей со стороны поля, с обратным знаком.

Пример 2. Рассмотрим плоский конденсатор (отключенный от источника), который заполнен жидким или газообразным диэлектриком. Требуется найти силу, действующую на обкладку конденсатора.

Решение. При увеличении расстояния между обкладками на энергия увеличится на , а работа равна Значит, сила притяжения равна , где — напряженность в диэлектрике, создаваемая одной обкладкой. Если диэлектрик представляет собой твердую пластину, то между диэлектриком и обкладкой существует воздушный промежуток, изменение энергии равно а сила где — напряженность, создаваемая одной пластиной в воздушном промежутке.

Пример 3. Вычислить силу, которая втягивает пластину из диэлектрика в пространство между обкладками плоского конденсатора.

Рис. 34.

Решение. Будем считать, что размеры пластины совпадают с размерами обкладок, а толщина пластины чуть меньше, чем расстояние между ними . Будем также считать, что конденсатор подключен к источнику, который поддерживает на нем постоянное напряжение . Уменьшим на расстояние, на которое пластина вдвинута в конденсатор (рис. 34). Энергия поля в объеме изменится на (а — ширина пластины, — напряженность поля), заряд на пластинах изменится на работа источника в два раза больше изменения энергии поля. Записав закон сохранения энергии получим Заметим, что нам удалось вычислить силу, возникающую вследствие искривления поля у краев конденсатора, хотя расчет энергии производился без учета краевых эффектов.