10.2. Криволинейный интеграл второго рода

Определение криволинейного интеграла второго рода.

Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле и кусочно гладкая кривая Задавая на кривой точки получим ее разбиение Выберем на каждой из дуг по произвольной «опорной» точке и составим сумму скалярных произведений называемую интегральной суммой.

Если существует конечный предел сумм при (не зависящий ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек), то он называется криволинейным интегралом второго рода от поля вдоль кривой и обозначается

Криволинейный интеграл второго рода зависит от направления движения вдоль кривой, а именно:

Интеграл по замкнутому контуру С называется циркуляцией поля а вдоль С и обозначается

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода: определяет работу силового поля при перемещении единичной массы вдоль дуги

Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

1. Для плоской кривой, заданной в виде и плоского поля

2. Пусть задана векторным уравнением Тогда

Аналогичная формула имеет место для плоской кривой и плоского поля а.

Потенциал и ротор векторного поля. Поле называется потенциальным, если существует функция такая, что

Функция называется потенциалом векторного поля а. Криволинейный интеграл второго рода от потенциального векторного поля вдоль дуги равен приращению потенциала вдоль этой дуги:

Ротором векторного поля называется вектор

Необходимые и достаточные условия потенциальности векторного поля. Пусть — односвязная область в пространстве (т.е. такая область, в которой любой замкнутый контур можно стянуть в точку, не выходя за цределы и — векторное поле в области Тогда следующие четыре утверждения равносильны:

1) поле а потенциально;

3) циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

не зависит от формы кривой (а зависит только от ее начальной и конечной точек).