3.4. Системы n-мерных векторов. Собственные значения и собственные векторы матрицы
Некоторые определения и формулы. Последовательность чисел 
называется n-мерным вектором X. Обозначение: 
Числа 
называются координатами вектора. Число координат называется размерностью вектора. Пусть 
Следующие формулы задают операции сложения 
-мерных векторов и умножения 
-мерного вектора на число:
Скалярным произведением векторов X и Y называется число
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Модулем вектора X называется число
Свойства модуля вектора:
1) 
(
тогда и только тогда, когда X = 0),
2) 
, k — число,
3) 
— неравенство треугольника.
Системы n-мерных векторов. Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют модули, равные единице.
Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
с коэффициентами 
Вектор 
разлагается по системе векторов 
если выполняется равенство 
Числа 
называются коэффициентами разложения.
Векторная форма записи системы линейных уравнений (2) имеет
где 
— мерный вектор, координаты которого равны коэффициентам при неизвестном 
— вектор коэффициентов при 
и т. д.; 
-вектор свободных членов.
Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов 
достаточно иметь какое-нибудь решение системы уравнений (2).
Система векторов 
называется линейно зависимой, если существуют такие числа 
не все равные нулю, что
где 
— нулевой вектор.
Если равенство (4) возможно лишь, когда все коэффициенты 
равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.
Линейно независимая часть 
системы векторов 
называется базисом этой системы, если каждый вектор системы 
разлагается по векторам 
Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы. Все базисы данной системы состоят из одного и того же числа векторов.
Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.
Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Число 
называется собственным значением квадратной матрицы А порядка 
если можно найти такой 
-мерный ненулевой вектор X, что 
Вектор X называется собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному значению 
.
Собственные значения являются корнями уравнения
называемого характеристическим уравнением матрицы А.
Множество всех собственных векторов матрицы А, отвечающих ее собственному значению 
, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы линейных уравнений 
