8.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
Геометрические приложения определенного интеграла.
1. Площадь области 
на плоскости х, у, изображенной на рис. 19, равна
(при 
эта формула дает площадь криволинейной трапеции).
2. Площадь криволинейного сектора. Пусть в полярных координатах 
задана кривая 
где 
Тогда площадь криволинейного
Рис. 19.
сектора 
вычисляется по формуле
3. Площадь поверхности вращения. При вращении кривой 
вокруг оси х образуется поверхность, площадь которой
4. Объем тела вращения. Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной кривой 
осью х и прямыми 
Его объем
5. Длина дуги кривой, заданной различными способами.
а) Если кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции 
то ее длина
б) Если плоская кривая задана параметрически уравнениями 
(где t — непрерывно дифференцируемые функции), то ее длина
в) Если кривая задана в полярных координатах 
уравнением 
то ее длина
Физические приложения определенного интеграла.
1. Работа переменной силы. Пусть по оси х от точки х — а до точки 
движется материальная точка, на которую действует переменная сила 
направленная вдоль оси х. Работа этой силы равна 
2. Масса стержня переменной плотности. Пусть стержень с постоянной площадью поперечного сечения 
занимает на оси х отрезок 
а плотность материала стержня есть функция от 
Масса такого стержня равна 
