1.5. Закон сохранения энергии

Работа — скалярная величина, являющаяся мерой изменения энергии. Работа внешних сил равна изменению энергии

Определение работы (через интеграл от скалярного произведения):

где — проекция силы на направление движения точки ее приложения, угол между силой и этим направлением. Работа и энергия измеряются в джоулях

Пример 1. Работа постоянной силы Р

равна скалярному произведению силы на полное перемещение и не зависит от траектории точки приложения.

Пример 2. Работа центральной силы (силы со стороны центрального поля, см. разд. 1.3) равна

(проекция на радиальное направление равна изменению расстояния до центра). Она зависит только от начального и конечного расстояний до силового центра и не зависит от траектории.

Мощность. Средняя мощность — отношение работы к интервалу времени. Мгновенная механическая мощность равна

Мощность измеряется в ваттах

Кинетической энергией называется энергия, связанная с движением точки и зависящая от ее скорости. Скорость тела изменяется под действием результирующей силы Р, работа которой равна

Видно, что в соответствии с общим принципом (12) кинетическую энергию надо определить как Полученное тождество, утверждающее, что изменение кинетической энергии равно работе результирующей силы, называют теоремой о кинетической энергии.

Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий всех точек системы. Изменение кинетической энергии системы равно работе всех сил, действующих на ее точки. Кинетическая энергия системы равна:

где — масса системы, — скорость ее центра масс, — кинетическая энергия в системе центра масс (теорема Кёнига).

Консервативные силы. Потенциальное поле. Сила взаимодействия между точками называется консервативной, если работа этой силы зависит только от начального и конечного положения точек, но не зависит от траектории их перемещения. Внешнее стационарное поле называется потенциальным, если работа поля при перемещении точки зависит только от ее начального и конечного положения, но не зависит от ее траектории. (Эквивалентное утверждение — работа поля при перемещении точки по замкнутой траектории равна нулю.) Потенциальное поле — это поле консервативных сил взаимодействия, создаваемое неподвижными внешними источниками. Из примера 1 следует, что однородное поле потенциально (пример — поле тяжести). Из примера 2 следует, что любое центральное поле потенциально. Потенциальным будет также поле, являющееся суперпозицией нескольких центральных полей (создаваемое несколькими источниками). Значит, электростатическое поле и стационарное поле тяготения являются потенциальными. Из примера 2 также следует, что сила упругости, создаваемая легкой пружиной, является консервативной. Система точек, между которыми действуют только консервативные силы, называется консервативной системой.

Потенциальная энергия. Потенциальная энергия характеризует взаимодействие между точками и зависит от их взаимного расположения. Потенциальная энергия точки во внешнем потенциальном поле определяется следующим образом. Сначала определим разность потенциальных энергий для двух положений точки как работу поля по ее переносу из одного положения в другое:

(эта работа не зависит от траектории). Значит, изменение потенциальной энергии равно работе сил поля, взятой с обратным знаком. Если перемещение частицы в поле осуществляется очень медленно с помощью внешней силы, то работа внешней силы будет равна по величине и противоположна по знаку работе поля, т. е. в соответствии с общим принципом (12). Равенство (15) определяет потенциальную энергию с точностью до константы. Чтобы сделать определение однозначным, надо задать значение потенциальной энергии в какой-то точке пространства (обычно задают точку, в которой потенциальная энергия равна нулю).

Пример 3. Работа силы тяжести при перемещении точки массой с высоты на высоту равна - Значит, потенциальная энергия точки в поле тяжести равна где высота отсчитывается от оговоренного нулевого уровня. Потенциальная энергия системы точек в поле тяжести равна

где — масса системы, — высота ее центра масс.

Пример 4. Работа силы упругости равна где — начальная и конечная деформация пружины. Значит, потенциальная энергия упругой пружины равна где за нуль принята энергия недеформированной пружины.

Пример 5. Работа сил трения, сопротивления отрицательна как на каждом участке пути, так и вдоль замкнутой траектории. Значит, эти силы не являются консервативными.

Потенциальную энергию консервативного взаимодействия двух частиц можно определить как потенциальную энергию одной частицы в поле другой частицы. Ответ не зависит от того, какую из частиц выбрать в качестве источника поля.

Связь силы с потенциальной энергией. Записав равенство (15) для двух близких точек, лежащих на некоторой оси получим Значит, проекция силы на произвольное направление выражается через производную от потенциальной энергии:

(частная производная означает, что рассматривается как функция одной переменной Вектор силы получается равным градиенту потенциальной энергии:

Для центрального поля формула (16) принимает вид

Механическая энергия системы определяется как сумма ее кинетической энергии, потенциальной энергии взаимодействия между ее частицами и потенциальной энергии во внешнем поле:

Первые две суммы образуют собственную механическую энергию системы.

Изменение механической энергии. Изменение кинетической энергии равно работе всех сил, приложенных к точкам системы (уравнение Изменение потенциальной энергии равно работе всех консервативных сил (внутренних и внешних, включая работу потенциальных полей), взятой с обратным знаком. Значит, изменение механической энергии равно работе всех неконсервативных сил, как внешних, так и внутренних:

Закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной.

Это утверждение является частным проявлением общего фундаментального принципа сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется. Полная энергия, кроме механической, включает в себя также различные виды внутренней энергии: тепловую, химическую, ядерную. Общий принцип сохранения энергии выходит далеко за пределы ньютоновской механики, в рамках которой мы получили закон сохранения механической энергии. Этот принцип тесно связан с фундаментальным условием однородности времени (равноправием всех моментов времени), он является основанием всего здания современной физики.

Условие консервативности эквивалентно требованию независимого сохранения двух слагаемых полной энергии: механической и внутренней. Если, напрймер, внутри системы действуют силы трения,

работа которых отрицательна, то механическая энергия уменьшается (уравнение (20)), переходя во внутреннюю (в этом случае говорят, что в системе выделяется тепло). Механическая энергия может также изменяться в том случае, если в системе присутствует какой-нибудь механизм, способный производить работу за счет внутренней энергии (топлива): двигатель внутреннего сгорания, человек.

Пример 6. Упругий удар. При центральном ударе упругих шаров сохраняется и импульс системы, и ее механическая энергия:

Вместо второго уравнения удобно использовать условие, что относительная скорость шаров не меняется по величине, но изменяет свой знак: Это уравнение можно вывести из первых двух, но оно становится очевидным при переходе в инерциальную систему центра масс (относительная скорость при таком переходе не меняется). В этой системе отсчета полный импульс системы равен нулю, и после удара скорости шаров просто меняются на противоположные (оба закона сохранения при этом выполняются). Решая два линейных уравнения, находим конечные скорости шаров:

При упругом ударе о движущуюся стенку получим

Пример 7. Неупругий удар. После абсолютно неупругого удара шары движутся поступательно с одинаковой скоростью, т.е. как одно составное тело (вращения не возникнет, если в системе центра масс удар центральный). Скорости сравниваются в результате действия неконсервативных сил, т.е. при неупругом ударе обязательно выделяется тепло. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью закона сохранения импульса конечную скорость шаров: после чего вычислим уменьшение механической энергии:

Еще проще получить этот ответ в системе координат, связанной с центром масс, где шары после удара покоятся.

Потенциальные кривые. Устойчивость. Если известна потенциальная энергия одномерного движения в потенциальном поле (рис. 5), то, опираясь на соотношение (16) между силой и энергией, можно выяснить:

а) Направление силы при

б) Точки равновесия при

Рис. 5.

в) Устойчивость равновесия. В окрестности точки сила направлена в сторону этой точки, т. е. равновесие устойчиво. В точке равновесие неустойчиво. Устойчивое равновесие соответствует минимуму потенциальной энергии.

г) По значению механической энергии Е можно установить характер движения. Движение может происходить только в области, где (кинетическая энергия неотрицательна). При (для рис. движение финитное, т.е. происходит в ограниченной области На рис. 5 движение происходит между точками поворота При движение либо инфинитно, т.е. точка после отражения от точки поворота уходит на бесконечность с кинетической энергией либо заперто потенциальным барьером и движется между точками поворота . В классической механике потенциальный барьер непреодолим; в квантовой механике существует вероятность проникновения сквозь потенциальный барьер (туннельный эффект).