3.9. Постоянный ток

Сила тока. Плотность тока. Электрическим током называется упорядоченное движение электрических зарядов. Конвекционным током называют движение зарядов, связанное с перемещением в пространстве заряженного тела. Ток проводимости в веществе осуществляется свободными зарядами (носителями тока) - электронами в металлах, электронами и дырками в полупроводниках, ионами в электролитах. За направление тока принимается направление движения положительных зарядов. Заряд, проходящий за время через площадку внутри проводника в направлении нормали Я, определяется средней скоростью свободных зарядов

где — заряд носителей тока, — их концентрация, — плотность тока. Силой тока I называется заряд, проходящий через сечение проводника в единицу времени:

где интегрирование производится по поперечному сечению. Для линейного (S = const) проводника и (41) приобретает вид: Ток называется постоянным, если

Уменьшение заряда внутри замкнутой поверхности равно . В дифференциальной форме закон сохранения заряда принимает вид: . В случае постоянного тока т. е. линии тока непрерывны и идут вдоль проводника.

Закон Ома в дифференциальной форме. Для поддержания тока в веществе на свободные заряды должна действовать постоянная сила электромагнитной щжроды, которую можно характеризовать напряженностью Как только эта сила исчезает, за ничтожно малое время средняя скорость свободных зарядов обращается в нуль. При не очень больших значениях Е плотность тока в изотропном проводнике должна быть пропорциональна Р:

где а — удельная проводимость вещества, — удельное сопротивление. Из закона сохранения заряда следует, что если то т.е. в однородном проводнике линии напряженности непрерывны, а в проводё постоянного сечения они параллельны поверхности провода.

Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме. При протекании тока по проводнику работа, совершенная полем Р над свободными зарядами, полностью переходит в энергию теплового движения при их соударениях с ионами. Объемная плотность тепловой мощности тока равна работе поля над зарядами в единице объема за единицу времени:

Однородный участок цепи. Сопротивление. Если на участки цепи протекание тока обеспечивается только электростатическим (кулоновским) полезу (т.е. то участок цепи называется однородным. В однородном проводнике § и в соответствии с теоремой Гаусса (см. разд. 3.4) заряд, создающий поле, расположен только на поверхности. В проводе постоянного сечения эквипотенциальные поверхности совпадают с поперечными сечениями провода. Сила тока, протекающего в направлении от сечения 1 к сечению 2, пропорциональна разности потенциалов (закон Ома для однородного участка цепи):

Если то ток протекает от 2 к 1. Здесь — сопротивление проводника, измеряется в омах (Ом). Для однородного линейного проводника Удельное сопротивление зависит

от температуры; в широких пределах можно пользоваться линейной зависимостью где Р - удельное сопротивление при а — температурный коэффициент сопротивления. Для металлов а ), для полупроводников

Рис. 35.

Сторонние силы. ЭДС. Хотя на отдельном участке цепи ток может поддерживаться электростатическими силами, полная работа этих сил в замкнутой цепи равна нулю. Значит, для компенсации тепловых потерь в цепи должны действовать сторонние силы неэлектростатической природы, полная работа которых отлична от нуля, т.е. должны присутствовать источники тока (рис. 35). Эти силы имеют электромагнитную природу: и их работа по переносу пробного заряда пропорциональна

где называют электродвижущей силой источника (ЭДС), знак соответствует случаю, когда источник проходится в направлении действия сторонних сил (от отрицательной обкладки к положительной), знак — противоположному случаю. Мощность сторонних сил (мощность источника) равна

(работа сторонних сил над всеми зарядами проводника за время равна работе по переносу заряда с одного конца проводника на другой).

Закон Ома для неоднородного участка цепи. На неоднородном участке цепи действуют как электростатические, так и сторонние силы. Дифференциальный закон Ома (42) принимает вид

а закон Ома для участка цепи записывается так:

Если то ток протекает от 2 к 1. Величину равную работе полной силы по переносу единичного заряда между сечениями 1 и 2, называют напряжением на участке цепи; для однородного участка напряжение равно разности потенциалов. Закон Ома утверждает, что на любом участке цепи

Закон Джоуля — Ленца для участка цепи. Тепловую мощность тока на участке цепи можно найти с помощью формулы (43):

Закон Ома для неразветвленной цепи. В неразветвленной замкнутой цепи сложив уравнения (48) для всех участков цепи, получим:

В случае источника с внутренним сопротивлением замкнутого на внешнее сопротивление имеем: разность потенциалов на клеммах источника равна — ток короткого замыкания источника равен Закон Ома (50) выражает закон сохранения энергии для неразветвленной цепи: мощность сторонних сил равна мощности тепловых потерь на сопротивлениях цепи.

Полезная мощность источника тока. Если источник служит для передачи энергии во внешнюю цепь, то полная (затраченная) мощность равна мощности сторонних сил: Рподн потерянная мощность — тепловым потерям на внутреннем сопротивлении: Рпотер Для полезной мощности получим: Рполеэн где — разность потенциалов на клеммах источника, максимальна при

Если на участок цепи подается разность потенциалов — и на участке включено устройство, совершающее работу против внешних сил (мотор), то полная мощность: потерянная мощность: потер — сопротивление обмотки мотора), полезная мощность: Величины и I зависят от скорости вращения ротора мотора; максимальная достигается при

Расчет разветвленной цепи. Правила Кирхгофа. Для нахождения токов в различных участках разветвленной цепи надо произвольным образом обозначить неизвестные токи и придать им произвольные направления, после чего воспользоваться одним из следующих методов:

1. Метод узловых потенциалов. В качестве неизвестных принимают потенциалы узлов цепи (один из потенциалов принимают равным нулю). С помощью (48) выражают токи через потенциалы, затем для узла записывают закон сохранения заряда: (алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю). Найдя из (48) находим токи.

2. Правила Кирхгофа. В этом методе неизвестными являются сами токи. Сначала записывают для узла уравнения (первое правило Кирхгофа). Затем выбирают произвольный замкнутый контур, обходят его в произвольном направлении и, суммируя (48) для каждого участка, получают уравнение (второе правило Кирхгофа). Повторяя эту процедуру необходимое число раз, получают систему уравнений для токов.

Эквивалентные сопротивления и источники. Несколько соединенных между собой сопротивлений можно заменить одним эквивалентным сопротивлением

1) Последовательно соединенные сопротивления:

2) Параллельно соединенные сопротивления:

3) В общем случае для вычисления эквивалентного сопротивления надо использовать методы расчета разветвленных цепей.

Несколько соединенных источников с параметрами можно заменить одним эквивалентным источником с параметрами

1) Последовательное соединение:

2) Параллельное соединение:

3) В общем случае для вычисления эквивалентных надо использовать методы расчета разветвленных цепей.

Классическая электронная теория металлов. Проводимость металлов осуществляется обобществленными валентными электронами. В классической электронной теории Друде — Лоренца газ электронов считается классическим газом, концентрация которого равна концентрации атомов металла, а температура — температуре металла. Ток проводимости рассчитывается в предположении, что электроны приобретают скорость упорядоченного движения при свободном движении и полностью теряют ее при каждом столкновении. Кроме того, предполагается, что Средняя скорость упорядоченного движения равна где среднее время между столкновениями выражается через среднюю длину свободного пробега и среднюю скорость теплового движения: . С учетом (40) получим:

(при более тщательном анализе получается такой же ответ, но без двойки в числителе; однако для оценочной модели это несущественно)

Обсуждение результатов классической электронной теории.

1. Теория объясняет рост при повышении температуры, но предсказывает зависимость а наблюдается .

2. Теория успешно объясняет закон Видемана — Франца: для всех металлов произведение коэффициента теплопроводности х (см. разд. 2.9) и удельного сопротивления пропорционально Т (произведение содержит только )

3. Длина свободного пробега электронов, вычисленная из формул классической электронной теории, оказывается на несколько порядков больше межатомного расстояния, что противоречит основным представлениям теории.

4. Классическая электронная теория предсказывает электронный вклад в молярную теплоемкость (см. разд. 2.5). Экспериментально вклад электронов в теплоемкость оказывается ничтожно малым.