1.2. Кинематика твердого тела

Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, их соединяющую, равны (рис. 4).

Эта теорема справедлива для произвольного движения тела и утверждает, что проекции должны быть равны и по величине, и по направлению.

Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси.

Рис. 4.

Поступательное движение. Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, проведенная в нем, при движении остается параллельной своему первоначальному направлению. Свойства поступательного движения: траектории всех точек твердого тела при наложении совпадают, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы в каждый момент времени:

где А и В — любые точки.

Вращение вокруг неподвижной оси. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, называемой осью вращения, его точки, лежащие на оси, остаются неподвижными. Через ось проведем две плоскости — неподвижную и подвижную, в которой находится точка тела, скорость и ускорение которой необходимо найти. Двугранный угол между подвижной и неподвижной плоскостями называется углом поворота тела, он измеряется в радианах. Угол поворота

считают положительным, когда он отсчитывается от неподвижной плоскости к подвижной против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси вращения. Чтобы было известно положение тела (и каждой его точки) в любой момент времени, необходимо знать зависимость угла от времени

Это уравнение выражает закон вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вместе с функцией ее первая и вторая производные по времени характеризуют кинематическое состояние твердого тела в рассматриваемый момент времени

где — угловая скорость тела, — его угловое ускорение.

Траекторией произвольной точки М твердого тела является окружность, радиус которой называется радиусом вращения точки. На рис. 5 эта окружность изображена со стороны положительного направления оси вращения. Знак и указывает направление вращения: если он положителен, то вращение происходит против хода часовой стрелки. Угловую скорость и угловое ускорение удобно изображать при помощи дуговых стрелок с учетом их знаков. Если знаки и и одинаковы, то говорят, что вращение ускоренное, если знаки разные — замедленное.

Рис. 5.

Вращение твердого тела называется равнопеременным, когда

В этом случае зависимости угла поворота и угловой скорости от времени даются формулами

аналогичными формулам для равнопеременного движения точки (7).

Равномерное вращение твердого тела является частным случаем равнопеременного, когда

В общем случае при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси модуль скорости точки М находится по формуле

при этом скорость направлена по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно к радиусу, и ее направление согласовано с направлением дуговой стрелки и. Величины касательного, нормального и полного ускорения можно найти по формулам, являющимся частными случаями формул (6):

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к окружности, и его направление согласовано с направлением дуговой стрелки , вектор а направлен по радиусу к центру окружности. Острый угол между а и можно найти по формуле

при этом направление ближайшего поворота от а к будет согласовано с направлением дуговой стрелки е.

Величины входящие в последние формулы, одинаковы для всех точек тела и характеризуют кинематическое состояние тела в целом.

Из формул следует, что векторы и а разных точек тела, лежащих на одном радиусе, параллельны между собой и линейно зависят от расстояния до оси вращения (рис. 5).