10. Криволинейные и поверхностные интегралы

10.1. Криволинейный интеграл первого рода

Определение криволинейного интеграла первого рода.

Пусть на кусочно гладкой кривой определена функция Выбор на дуге точек задает разбиение Максимальная из длин хорд называется диаметром разбиения и обозначается На каждой из дуг выберем произвольную «опорную» точку и составим интегральную сумму где — длина дуги

Если существует конечный предел сумм при (не зависящий ни от вида разбиений ни от выбора «опорных» точек), то он называется криволинейным интегралом первого рода по дуге и обозначается

Если функция непрерывна, то криволинейный интеграл существует. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления движения вдоль его свойства аналогичны свойствам определенного интеграла.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

1. Если плоская кривая задана в виде то

2. Если дуга задана параметрически уравнениями то

Аналогичная формула имеет место для функции определенной на плоской кривой

Приложения криволинейного интеграла первого рода.

1. Масса материальной кривой с заданным законом изменения линейной плотности

2. Координаты центра тяжести материальной кривой

Постоянной плотности соответстует