5.6. Общая схема исследования функции и построение графика
Общая схема исследования функции и построение графика:
1. Находим область определения функции.
2. Находим асимптоты графика функции.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
4. Определяем направление выпуклости графика и точки перегиба.
5. Выясняем, является ли функция четной или нечетной, является ли она периодической.
6. Находим точки пересечения графика с осями координат.
7. Строим график функции.
Пример. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение. Используем общую схему исследования функции.
1. Область определения функции: 
2. Прямая 
является вертикальной асимптотои, так как 
Найдем наклонные асимптоты:
Следовательно, прямая 
является горизонтальной асимптотой графика.
3. Производная 
: равна нулю при 
следовательно, 
— критическая точка. При 
имеем 
т. е. на этом интервале функция возрастает. При 
справедливо неравенство 
поэтому здесь функция убывает. При 
функция достигает максимального значения, равного утлх 
4. Вторая производная 
нулю при 
На интервале 
имеем 
поэтому здесь график функции обращен выпуклостью вверх. При 
справедливо неравенство 
и на этом интервале график обращен выпуклостью вниз. Значению 
соответствует точка перегиба графика с ординатой 
5. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как допустимы лишь значения 
и равенства 
выполняться не могут. Очевидно, что функция непериодическая.
6. График не пересекает ось 
так как при 
функция не определена. Далее, 
лишь при 
т.е. график пересекает ось х только в точке 
.
7. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 17).
Рис. 17.
