Пример 1. Решить систему ДУ
Решение. Выразив из первого уравнения 
и подставив его во второе уравнение, получим линейное ДУ второго порядка для 
. Общее решение этого уравнения имеет вид 
Вторая неизвестная функция находится из полученного выше выражения для 
.
Общее решение нормальной системы (4) имеет вид
— произвольные постоянные. Задавая значения искомых функций при некотором значении 
можно поставить для системы ДУ задачу о нахождении частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (задачу Коши). Как и в случае одного ДУ, для системы (4) имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность частного решения при непрерывности правых частей вместе с их частными производными.
В приложениях наиболее часто встречаются нормальные системы линейных ДУ. Для краткости ограничимся системой двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
Такие системы обычно решают, не сводя их к одному ДУ. Если 
то система называется однородной. Общее решение неоднородной системы (5) складывается из общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (как и в случае одного линейного ДУ).
Для построения общего решения однородной системы сначала находят ее частное решение, имеющее вид
где 
— собственное значение матрицы системы, т.е. корень характеристического уравнения
а координаты собственного вектора 
находят из системы линейных однородных алгебраических уравнений
После этого строят общее решение однородной системы. Возможны следующие случаи.
1. Характеристическое уравнение (6) имеет два действительных различных корня k1 и k2. Этим корням отвечают два собственных вектора с координатами 
(координаты определяются с точностью до числовых множителей). Общее решение исходной однородной системы ДУ определяется линейной комбинацией частных решений
где 
— произвольные постоянные.
Пример 2. Решить систему 
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни 
Система уравнений (7) для нахождения координат собственных векторов записывается в виде
Отсюда 
Взяв, например, 
получим 
Таким образом, первым частным решением однородной системы ДУ является (с точностью до постоянного множителя) 
При 
аналогичным образом находим второе частное решение: 
Линейная комбинация двух найденных частных решений дает общее решение однородной системы:
В этом примере легко усматривается частное решение полной (неоднородной) системы: 
Поэтому общее решение исходной неоднородной системы ДУ имеет вид
2. Характеристическое уравнение (6). имеет пару комплексно сопряженных корней В этомслучае следует найти комплексное частное решение однородной системы ДУ (аналогично тому, как это делалось выше при отыскании частного решения, отвечающего действительному корню). Отделяя затем действительную и мнимую части комплексного решения, получим два действительных линейно независимых частных решения, линейная комбинация которых даст общее решение однородной системы ДУ.
Пример 3. Решить систему ДУ: 
функций 
которые при подстановке в каждое из уравнений превращают его в тождество. Одно 
порядка всегда можно заменить нормальной системой (4), вводя вспомогательные неизвестные функции. Часто верно и обратное: нахождение решения системы (4) можно свести к решению одного 
порядка.
Система (
) для нахождения координат (комплексного) собственного вектора 
имеет вид
находим одно из ненулевых решений: 
Соответствующее комплексное решение системы дается формулами 
— Отделяя здесь действительные и мнимые части и составляя их линейную комбинацию, получим общее решение системы:
Решение системы ищем в виде (
) при 
Подставляя эти выражения в исходную систему и сокращая на 
получим 
Отсюда видно, что а и 
можно считать произвольными числами (которые обозначим соответственно через и 
и что 
Таким образом, общее решение исходной однородной системы ДУ запишется в виде
