1.5. Окружность, эллипс, гипербола и парабола

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом имеет вид

В частности, уравнение окружности с центром в начале координат:

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек есть постоянная величина, равная 2а. Точки называются фокусами эллипса, а расстояние — фокусным расстоянием.

Наиболее простой вид уравнение эллипса имеет в системе координат, в которой осью х служит прямая, проходящая через фокусы,

начало координат О совпадает с серединой отрезка , ось у проходит через точку О перпендикулярно оси Уравнение эллипса в этой системе имеет вид

и называется каноническим уравнением.

Рис. 4.

Параметр а называется большой полуосью, — малой полуосью эллипса. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Параметрические уравнения эллипса: (параметр t принимает любые действительные значения от 0 до ).

Уравнение эллипса в полярных координатах: где — фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус параллельно малой оси).

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Для приближенного определения периметра эллипса можно использовать формулу

Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек есть постоянная величина, равная 2а. Точки называются фокусами гиперболы, расстояние — фокусным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где Оно описывает гиперболу в системе координат, ось х которой проходит через фокусы и , а начало находится в середине отрезка (рис. 5).

Рис. 5.

Параметр а называется действительной (или вещественной) полуосью, параметр — мнимой полуосью. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы. При неограниченном продвижении в бесконечность расстоянйе от каждой из них до гиперболы стремится к нулю.

Рис. 6.

Если гипербола называется равнобочной. В системе координат, оси которой совпадают с асимптотами равнобочной гиперболы, она имеет уравнение вида

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки и данной прямой I (рис. 6).

Точка называется фокусом, а прямая — директрисой параболы.

Через фокус проведем прямую, перпендикулярную директрисе, и обозначим точку пересечения этой прямой с директрисой буквой С. Длину отрезка обозначим Примем построенную прямую за ось а середину отрезка начало координат. В такой системе парабола имеет уравнение

называемое каноническим (рис. 6, а).

Если прямую, перпендикулярную директрисе, принять за ось а начало координат также взять в середине отрезка то в получившейся системе координат уравнение параболы имеет вид , где (рис. 6, б).