6.2. Классификация механических связей. Обобщенные координаты

Классификация механических связей. Механическими связями называются некоторые устройства (тела), накладывающие ограничения на положения и скорости точек механической системы. Эти ограничения выполняются всегда независимо от заданных сил и записываются в виде соотношений, называемых уравнениями связей.

Стационарными связями называются связи, не зависящие от времени; связи, зависящие от времени, называются нестационарными.

Связи, в уравнения которых входят координаты точек и время, называются геометрическими; связи называются кинематическими (дифференциальными), если в уравнения связей входят скорости, координаты точек и время.

Если кинематическую связь можно «заменить» эквивалентной геометрической, то она называется кинематической интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.

Геометрические и кинематические интегрируемые связи называются голономными, а кинематические неинтегрируемые — неголономными. Механическая система называется голономной, если на нее наложены только голономные связи, и неголономной, если имеется хотя бы одна неголономная связь.

Связи называются неосвобождающими, если ограничения, накладываемые ими на положения точек, их скорости и время, могут быть записаны в форме равенств. Освобождающие связи записываются в форме неравенств.

Возможным (виртуальным) перемещением точки механической системы называется любое допускаемое наложенными связями перемещение 5г из положения, занимаемого точкой в данный момент времени (при построении таких перемещений надо мысленно остановить время, при этом нестационарные связи станут неподвижными, т.е. — стационарными). Возможные перемещения точка не совершает, но могла бы совершить, не нарушая связей в данный момент времени.

Возможным перемещением системы называется любая совокупность возможных перемещений точек системы допускаемых всеми наложенными на нее связями.

В качестве примера рассмотрим точку, на которую наложена нестационарная связь — плоскость, движущаяся поступательно со скоростью (рис. 36). В соответствии с теоремой о сложном движении точки ее действительное перемещение равно геометрической сумме относительного и переносного, равного На рисунке видна разница между действительным и возможным перемещениями точки.

Рис. 36.

Для стационарных связей действительные перемещения точек находятся среди возможных.

Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для систем, состоящих из материальных твердых тел и конечного количества материальных точек,

существует некоторое число независимых между собой возможных перемещений, через которые можно выразить любое другое возможное перемещение. Число независимых перемещений называется числом степеней свободы механической системы.

Обобщенными координатами называются независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение каждой точки механической системы. В случае голономной системы число степеней свободы равно числу обобщенных координат, в случае неголономной системы число степеней свободы меньше числа обобщенных координат.

Рассмотрим конкретные примеры.

1. Свободная материальная точка в пространстве является системой с тремя степенями свободы.

2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Действительно, положение любой точки тела в пространстве можно определить, зная положение трех его точек не лежащих на одной прямой. Положение каждой из точек можно задать тремя параметрами, например, координатами . Общее число координат равно девяти, но эти 9 чисел не могут задаваться произвольно, так как они связаны тремя уравнениями, согласно которым расстояния между точками должны оставаться постоянными, поскольку они принадлежат твердому телу. Если, например, известны шесть координат то оставшиеся три могут быть найдены из уравнений связей.

3. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, и в качестве обобщенной координаты можно выбрать угол поворота

4. Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три степени свободы, в качестве обобщенных координат можно, например, выбрать угол поворота и две декартовы координаты какой-либо точки тела.

Рис. 37.

5. Твердое тело при поступательном движении имеет три степени свободы, в качестве обобщенных координат можно выбрать три декартовы координаты какой-либо точки тела.

6. Система, состоящая из призмы, положенной на плоскость, и диска, катящегося без проскальзывания по боковой грани призмы, имеет две степени свободы (рис. 37).

7. Система, состоящая из двух свободных точек, имеет шесть степеней свободы.

8. Механизм швейной машины, состоящий из большого числа твердых тел, имеет одну степень свободы.

9. Тонкий прямолинейный стержень на плоскости, который должен двигаться так, чтобы скорость его центра была параллельна оси стержня, имеет две степени свободы.

Из приведенных примеров механических систем лишь одна — последняя — была неголономной, остальные были голономными.

Вернемся снова к понятию обобщенных координат, взяв для иллюстрации систему из примера 6. Положение каждой точки диска и призмы будет известно, как только будут заданы значения величин, входящих в один из наборов, состоящих из двух параметров: или или или или и т.д.

Подведем итоги: для рассматриваемой системы вариантов выбора обобщенных координат существует бесконечно много, но каждый фиксированный набор всегда содержит две независимые величины. Так как данная система голономна, число обобщенных координат равно двум, т.е. числу степеней свободы. Координаты называются обобщенными, поскольку они могут не иметь явно выраженного геометрического смысла, как, например, в случае координат

Идеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма работ их реакций равна нулю на любом возможном перемещении системы:

Примером системы с идеальными связями служит свободное твердое тело. Любой сложный механизм, состоящий из нескольких твердых тел, можно трактовать как механическую систему с идеальными связями, если тела соединены абсолютно жестко, при помощи идеальных шарниров (без трения), невесомыми нерастяжимыми идеально гибкими нитями. Кроме того, поверхности соприкосновения должны быть либо абсолютно гладкими, либо идеально шероховатыми, когда одно из тел катится по другому без проскальзывания.