§ 71. Тангенциальные и вращательные разрывы

В обычной гидродинамике возможны, как известно, разрывы двух различных типов ударные волны и тангенциальные разрывы. Возникновение двух типов разрывов связано математически с тем, что некоторые из граничных условий оказывается возможным представить в виде равенства нулю произведения двух множителей; приравнивая нулю каждый из множителей в отдельности, мы получаем два независимых решения.

В магнитной же гидродинамике уравнения (70,2-5) не имеют такого вида, и на этом основании можно было бы думать, что имеется всего один единый тип разрывов, охватывающий все возможные частные случаи. В действительности, однако, оказывается, что и здесь существуют различные типы разрывов, не являющиеся частными случаями один другого (F. Hoffmann, Е. Teller, 1950).

Рассмотрим прежде всего такие разрывы, в которых Это значит, что т. е. жидкость движется параллельно поверхности разрыва. Если при этом , то из уравнений (70,2-5) видно, что должны быть непрерывны скорость, давление и магнитное поле. Произвольный же скачок может испытывать плотность (а также энтропия, температура и т. п.). Такой разрыв, который можно назвать контактным, представляет собой просто границу раздела между двумя неподвижными средами с различными плотностями и температурами.

Если же при также и , то из четырех уравнений (70,2-5) тождественно удовлетворяются сразу три; уже отсюда ясно, что этот случай является особым.

Таким образом, мы находим тип разрывов, которые можно назвать, как и в обычной гидродинамике, тангенциальными. На таком разрыве скорость и магнитное поле касательны к его поверхности и испытывают произвольные по величине и направлению скачки:

Произволен также скачок плотности, а скачок давления связан со скачком уравнением (70,3):

Скачки же других термодинамических величин (энтропии, температуры и т. д.) определяются по скачкам V и Р с помощью уравнения состояния газа.

Другим типом разрывов являются разрывы, в которых плотность газа не испытывает скачка. Ввиду непрерывности потока из отсутствия скачка плотности сразу следует, что будет непрерывной и нормальная составляющая скорости:

Далее, в правой стороне уравнения (70,5) выносим V за фигурные скобки и, разделив почленно уравнения (70,5) и (70,4) друг на друга, получаем

После этого уравнение (70,4) или (70,5) дает

В уравнении (70,2) пишем учитывая непрерывность V, заменив согласно (71,4) и произведя перегруппировку членов, перепишем его в виде

Второй член здесь обращается в нуль в силу равенства (70,3), а третий — в силу (71,5), так что остается т. е. наряду с плотностью непрерывна также и внутренняя энергия. Но всякая другая термодинамическая величина однозначно определяется заданием двух величин — и V. Поэтому непрерывны и все остальные термодинамические величины, в том числе давление. Из уравнения же (70,3) следует тогда, что непрерывен также квадрат , т. е. абсолютная величина вектора :

Одновременная непрерывность означает, что остаются неизменными также полная абсолютная величина вектора Н и угол, образуемый им с нормалью к поверхности.

Формулы (71,3-6) определяют все свойства рассматриваемых разрывов. На них непрерывны термодинамические величины газа, а магнитное поле поворачивается вокруг направления нормали, оставаясь неизменным по своей абсолютной величине. Вместе с вектором испытывает скачок касательная составляющая скорости (согласно (71,5)), а нормальная составляющая скорости непрерывна и равна

Разрывы этого типа называют вращательными или альфвеновскими.

Заметим, что путем соответствующего выбора системы координат всегда можно добиться, чтобы с обеих сторон поверхности вращательного разрыва скорость газа была параллельна полю. Для этого достаточно перейти к новой системе координат (см. примечание на стр. 333), движущейся относительно исходной со скоростью, равной

В этой новой системе координат с обеих сторон разрыва отношения всех трех составляющих v к соответствующим компонентам Н одинаковы:

Другими словами, скорость поворачивается вместе с магнитным полем, оставаясь неизменной по величине и по углу, образуемому ею с нормалью.

Скорость , взятая с обратным знаком, есть в то же время скорость распространения разрыва относительно жидкости. Она совпадает с фазовой скоростью альфвеновских волн. Тот факт, что это совпадение имеет место для любого вращательного разрыва, до известной степени случаен, но при малых скачках величин на разрыве такое совпадение обязательно. Действительно, такой разрыв представляет собой слабое возмущение, в котором скорость v и магнитное поле Н получают малые приращения, перпендикулярные к плоскости, проходящей через Н и нормаль к поверхности п. Это возмущение относится как раз к тому типу, который обладает фазовой скоростью . Физической скоростью распространения поверхности фронта малого возмущения является проекция групповой скорости на нормаль к ней, т. е. на волновой вектор к. Но ввиду линейности связи со с к имеем

и потому указанная проекция совпадает с фазовой скоростью

Хотя тангенциальные и вращательные разрывы представляют собой различные типы разрывов, но существуют разрывы, которые обладают одновременно свойствами тех и других. Таковы разрывы, на которых v и Н тангенциальны и лишь поворачиваются, не меняясь по абсолютной величине.

Как известно, в обычной гидродинамике тангенциальные разрывы всегда неустойчивы по отношению к бесконечно малым возмущениям, что приводит к их быстрому размыванию в турбулентные области. Магнитное же поле оказывает стабилизирующее влияние на движение проводящей жидкости, и тангенциальные разрывы в ней могут оказаться устойчивыми. Это обстоятельство является естественным следствием того, что поперечные (по отношению к полю) смещения жидкости при возмущении связаны с растяжением «вмороженных» магнитных силовых линий и тем самым приводят к возникновению сил, стремящихся восстановить невозмущенное движение.

Выясним условия устойчивости для тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости (С. И. Сыроватский, 1953).

Пишем

где — постоянные (с каждой из сторон разрыва) невозмущенные значения величин, — их малые возмущения. Подставив в уравнения (66,7-9), получим для идеальной жидкости:

(71,10)

для краткости здесь и ниже опускаем индексы 1, 2 и вводим обозначение . Применив к уравнению (71,11) операцию и учитывая (71,9), получим

(71,12)

Пусть есть плоскость разрыва; векторы v и и параллельны ей. В каждом из полупространств ищем все величины в виде, пропорциональном где — двумерный вектор в плоскости Из уравнения (71,12) найдем, что , так что надо положить на стороне КО и на стороне . Далее, из -компонент уравнений (71,10-11) исключаем и находим

(71,13)

(случай, когда выражение в квадратных скобках обращается в нуль, нас не интересует, так как при этом вещественно, а неустойчивость может быть связана лишь с комплексными значениями ).

Пусть есть смещение вдоль оси поверхности разрыва при возмущении. На смещенной поверхности должны выполняться условия (71,1-2):

(условие отсутствия потока жидкости через поверхность разрыва выполняется при этом автоматически). Положив

и исключив из написанных трех уравнений, получим уравнение, определяющее возможные значения со:

Это квадратное уравнение не имеет комплексных корней, если

или

где — скачок скорости на разрыве.

Эта квадратичная форма положительна, если положительны след и определитель тензора второго ранга, стоящего в квадратных скобках. Отсюда получаются искомые условия устойчивости

(71,14)

Фактически, однако, благодаря наличию у жидкости малых, но все же конечных вязкости и электрического сопротивления тангенциальный разрыв не будет оставаться таковым в течение неограниченно долгого времени, даже если условия (71,14) выполнены. Хотя турбулентность при этом и не возникает, но вместо резкого разрыва получается постепенно расширяющаяся переходная область, в которой скорость и магнитное поле плавно меняются от одного своего значения к другому.

В этом легко убедиться на основании уравнений движения (66,8-9), сохранив в них диссипативные члены. Выберем направление нормали к разрыву в качестве оси Предполагая все величины зависящими только от координаты х (и, возможно, от времени), напишем поперечные составляющие этих уравнений:

(жидкость предполагаем несжимаемой).

Если предположить движение стационарным, то левые стороны этих уравнений заменяются нулями. Но тогда единственное решение, остающееся конечным при есть просто , в противоречии с предположением о наличии скачка значений этих величин. Таким образом, тангенциальный разрыв не может иметь стационарной ширины (как ее имеет, например, слабая ударная волна). Уравнения (71,15) имеют вид уравнения теплопроводности. Как известно из теории теплопроводности, разрыв величины, описываемый этим уравнением, с течением времени размывается в переходную область, ширина которой растет пропорционально квадратному корню из времени. Ввиду различия коэффициентов в двух уравнениях (71,15), ширины областей изменения скорости и поля будут различны:

(71,16)

Что касается вращательных разрывов, то они оказываются устойчивыми (в несжимаемой жидкости) по отношению к бесконечно малым возмущениям при любых значениях магнитного поля (С. И. Сыроватский, 1953). Однако, как и тангенциальные разрывы, они не могут иметь стационарной ширины и под влиянием вязкости и электрического сопротивления среды расширяются со временем (см. задачу).