§ 99. Двухосные кристаллы

У двухосных кристаллов все три главных значения тензора 8,7. различны. Сюда относятся кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической систем. В кристаллах триклинной системы положение главных диэлектрических осей не связано с какими бы то ни было определенными кристаллографическими направлениями; в частности, оно меняется с изменением частоты, от которой зависят все компоненты . В кристаллах моноклинной системы кристаллографически фиксирована одна из главных диэлектрических осей (она совпадает с осью симметрии второго порядка или перпендикулярна к плоскости симметрии); положение же двух других главных осей зависит от частоты. Наконец, в кристаллах ромбической системы фиксировано положение всех трех главных осей — они должны совпадать с тремя взаимно перпендикулярными осями симметрии второго порядка.

Рис. 54.

Изучение оптических свойств двухосных кристаллов связано с исследованием уравнения Френеля в его общем виде.

Примем в дальнейшем для определенности, что

Для выяснения характера формы поверхности четвертого порядка, определяемой уравнением (97,10), прежде всего найдем форму ее сечений координатными плоскостями. Положив в уравнении , найдем, что его левая часть распадается на два множителя:

Отсюда видно, что контур сечения в плоскости ху состоит из круга

и эллипса

причем согласно условию (99,1), эллипс лежит внутри круга. Аналогично найдем, что сечения плоскостями yz и xz тоже состоят из эллипса и круга, но в плоскости yz эллипс лежит вне круга, а в плоскости xz они пересекают друг друга.

Таким образом, поверхность волновых векторов есть самопересекающаяся поверхность изображенного на рис. 54 типа (на рисунке изображена поверхность в одном октанте).

Эта поверхность имеет четыре особые точки — четыре точки самопересечения, лежащие по одной в каждом квадранте плоскости Особые точки поверхности, заданной уравнением вида определяются, как известно, равенством нулю всех трех первых производных функции f. Дифференцируя выражение в левой стороне уравнения (97,10), получим следующие уравнения:

(причем должно удовлетворяться, конечно, и само уравнение (97,10)). Заранее зная, что искомые направления лежат в плоскости полагаем , а из двух остающихся уравнений после простого вычисления находим:

Направления этих векторов наклонены к оси z под углом Р, для которого

Этой формулой определяются две оси (два направления) в плоскости , каждая из которых проходит через две противоположные особые точки и наклонена под углом Р к оси г. Они называются оптическими осями (или бинормалями) кристалла; на рис. 54 пунктиром показана одна из них. Направления оптических осей являются, очевидно, единственными направлениями, в которых волновой вектор может иметь всего одно значение.

Аналогичными свойствами обладает лучевая поверхность. Для получения соответствующих формул достаточно заменить на s и на .

В частности, имеются две оптические оси лучей (или бирадиали), расположенные тоже в плоскости и наклоненные к оси под углом у:

Так как .

Направления и s совпадают лишь для волн, распространяющихся в направлениях координатных осей (т. е. главных диэлектрических осей). Если лежит в какой-либо из координатных плоскостей, то s лежит в той же плоскости. Из этого правила имеется, однако, одно замечательное исключение для волновых векторов, направленных вдоль оптических осей.

Рис. 55.

Общие формулы, определяющие вектор s по вектору (см. задачу к § 97), при подстановке в них значения из (99,5) дают неопределенность вида . Происхождение и смысл этой неопределенности вполне понятны из следующих геометрических соображений. Вблизи особой точки внешняя i и внутренняя полости поверхности волновых векторов представляют собой конусы с общей вершиной. В этой вершине (особой точке) направление нормали к поверхности становится неопределенным; между тем указанные формулы определяют направление s именно как направление нормали. В действительности волновому вектору, направленному вдоль оптической оси (бинормали), соответствует бесконечное множество лучевых векторов, направления которых заполняют определенную коническую поверхность (конус внутренней конической рефракции).

Для нахождения этого конуса лучей можно было бы исследовать направления нормалей в окрестности особой точки. Более нагляден, однако, путь, основанный на геометрическом построении с помощью лучевой поверхности.

На рис. 55 изображено в одном квадранте (сплошными кривыми) сечение лучевой поверхности плоскостью . В этих же осях координат изображено (в произвольно измененном масштабе) сечение поверхности волновых векторов. Прямая OS есть бирадиаль, a ON — бинормаль; волновой вектор, соответствующий точке N, обозначим как .

Легко видеть, что особой точке N поверхности волновых векторов соответствует на лучевой поверхности особая касательная плоскость — плоскость, перпендикулярная к направлению ON и касающаяся поверхности не в отдельной точке, а по целой Кривой (как оказывается, — по окружности). На рис. 55 сечение этой плоскости изображено отрезком Это непосредственно следует из указанного в § 97 геометрического соответствия между поверхностью волновых векторов и лучевой поверхностью: если к какой-либо точке s лучевой поверхности провести касательную плоскость, то перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость, совпадает по направлению с и по величине равен , где — волновой вектор, соответствующий данному s. В нашем случае должно иметься бесконечное множество векторов s, соответствующих одному и тому же ; поэтому отвечающие всем им точки лучевой поверхности должны лежать на одной и той же касательной плоскости, причем эта плоскость перпендикулярна к . Таким образом, на рис. 55 треугольник есть след сечения конуса внутренней конической рефракции плоскостью xz.

Количественный расчет описанной геометрической картины не представляет особых трудностей, но мы не будем излагать его здесь, ограничившись приведением окончательных формул. Уравнение окружности, по которой конус рефракции пересекает лучевую поверхность, дается совокупностью следующих двух формул:

Первое из этих уравнений, если понимать в нем как три независимые переменные, есть уравнение самого конуса рефракции. Второе же дает уравнение касательной (к лучевой поверхности) плоскости. В частности, при первое уравнение (99,8) распадается на два уравнения

которые определяют направления крайних лучей (соответственно и на рис. 55) в плоскости сечения . Первое из них совпадает с направлением бинормали (ср. (99,6)), которое в то же время перпендикулярно к касательной

Аналогичное положение имеет место для волновых векторов, соответствующих заданному лучевому вектору. Вектору s, направленному по бирадиали, соответствует бесконечное множество волновых векторов, направления которых заполняют так называемый конус внешней конической рефракции (на рис. 55 треугольник есть след сечения этого конуса плоскостью ).

Соответствующие формулы получаются, как всегда, заменой в формулах (99,8) и гласят:

Для фактического наблюдения внутренней конической рефракции можно воспользоваться плоскопараллельной пластинкой, вырезанной из кристалла перпендикулярно к бинормали (рис. 56). Поверхность пластинки закрыта узкой диафрагмой, выделяющей из перпендикулярно падающей на пластинку плоской волны (волны с определенным направлением волнового вектора) узкий пучок. Волновой вектор в прошедшем в пластинку свете будет иметь это же направление, совпадающее с бинормалью, и потому его лучи распределятся по поверхности конуса внутренней рефракции. Свет же, выходящий из другой поверхности пластинки, имея тот же волновой вектор, что и падающий свет, распределится по поверхности кругового цилиндра.

Рис. 56.

Для наблюдения же внешней конической рефракции пластинка должна быть вырезана перпендикулярно к бирадиали, а ее обе поверхности — закрыты диафрагмами с малыми отверстиями, расположенными точно одно против другого. При освещении пластинки сходящимся пучком света (т. е. пучком, содержащим лучи со всевозможными направлениями ) диафрагмы выделят внутри пластинки лучи с направлением s вдоль бирадиали и, соответственно, с направлениями , заполняющими поверхность конуса внешней конической рефракции. Выходящий из второго отверстия свет распределится поэтому тоже по конической поверхности (которая, однако, вследствие преломления на выходе не точно совпадает с конусом внешней рефракции).

Законы преломления на поверхности двухосного кристалла при произвольном направлении падения чрезвычайно громоздки, и мы не будем останавливаться на них 2). Укажем лишь, что в отличие от одноосного кристалла, обе преломленные волны являются «необыкновенными» и их лучи не лежат в плоскости падения.

Как условлено в § 97, мы рассматриваем оптику прозрачных кристаллов. Упомянем здесь, однако, об одном свойстве двухосных кристаллов, которое может возникнуть при учете поглощения.

Рассмотрим распространяющуюся в кристалле однородную плоскую волну; в ней — комплексный вектор, причем, однако, его вещественная и мнимая части имеют одинаковое направление: где v — вещественный единичный вектор, а комплексная величина. При заданном v дисперсионное уравнение (97,21) в раскрытом виде гласит:

где , а индексы 1, 2 — тензорные индексы в плоскости, перпендикулярной v. Это квадратное по уравнение имеет кратный корень, если

(99,10)

при этом При наличии поглощения тензор комплексен.

В двухосных кристаллах эллипсоиды тензоров трехосны, причем отношения длин их полуосей (а в кристаллах триклинной и моноклинной систем также и их направления) различны для обоих тензоров. В этих условиях двумерные тензоры не приводятся, вообще говоря, одновременно к главным осям. Угол между главными осями обоих тензоров - функция двух независимых переменных (углов, задающих направление v). Поэтому при заданной частоте может существовать однопараметрическое множество направлений v, для которых . При таком значении мнимая часть комплексного уравнения (99,10) удовлетворяется тождественно, а вещественная часть принимает вид

(99,11)

где индексы 1 и 2 указывают главные значения соответствующих тензоров. При любом выборе осей уравнения (97,21) дадут теперь

где два знака в правой стороне равенства отвечают двум знакам в (99,10). Таким образом, условия и (99,11) совместно выделяют для каждого значения со определенное направление v, в котором может распространяться лишь волна с круговой поляризацией одного знака — левой или правой, смотря по тому, с каким знаком выполняется условие (99,10) (W. Voigt, 1902). Такое направление в кристалле называют сингулярной или круговой оптической осью.

В соответствии с общей теорией линейных дифференциальных уравнений, второе независимое решение уравнений поля содержит в этом случае наряду с экспоненциальным множителем (содержащим в себе и затухание) еще и линейный по координатам множитель вида .

Поляризация этой волны меняется вдоль луча, но в конце концов по мере увеличения устанавливается такая же круговая поляризация, как и в первой волне (это становится очевидным, если заметить, что в указанном пределе при подстановке решения в уравнения поля дифференцированию следует подвергать только экспоненциальный множитель; разница между обоими решениями тогда исчезает).

Подчеркнем отличие сингулярной оси от случая, когда двойной корень дисперсионного уравнения возникает автоматически в силу симметрии кристалла. Для света, распространяющегося вдоль оптической оси одноосного кристалла, двумерный тензор имеет вид и условие (99,10) удовлетворяется тождественно. При этом уравнения (97,21) допускают два независимых решения с различными поляризациями.