Задачи
1. В проводящую среду погружена система электродов, поддерживаемых при постоянных потенциалах 
. С каждого из электродов стекает ток 
Определить полное джоулево тепло, выделяющееся в среде в 1 секунду.
Решение. Искомое тепло Q дается интегралом
взятым по объему среды. Преобразуем этот интеграл в интеграл по поверхности, учитывая, что на внешней границе среды 
а на поверхностях электродов 
. В результате получим
Рис. 15.
2. Определить распределение потенциала в проводящей сфере, в которую ток J входит через один полюс и выходит через противоположный полюс.
Решение. Вблизи полюсов О и О (рис. 15) потенциал соответственно должен иметь вид
Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, а интегралы — а 
по бесконечно малым полусферам вокруг точек О и О равны 
Ищем потенциал в произвольной точке Р сферы в виде
где 
есть решение уравнения Лапласа, не имеющее полюсов внутри сферы и на ее поверхности. Из симметрии очевидно, что 
(как и 
) есть функция только сферических координат 
.
На поверхности сферы 
должно быть 
Произведя дифференцирование, найдем отсюда для 
следующее граничное условие:
Если 
есть какое-либо решение уравнения Лапласа, то функция 
тоже есть решение. Сравнивая с написанным граничным условием, легко заключить, что ему удовлетворяет решение
Подставив 
и произведя интегрирование, получим окончательно
отсчитывается от значения 
при 
3. Показать, что распределение тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии.
Решение. Речь идет о минимуме интеграла
при дополнительном условии 
, выражающем сохранение заряда. Варьируя по j интеграл
(
-лагранжев неопределенный множитель) и приравнивая вариацию нулю, получим уравнение 
или
совпадающее с уравнениями (21,2) и (21,3).
