Задачи
1. В проводящую среду погружена система электродов, поддерживаемых при постоянных потенциалах
. С каждого из электродов стекает ток
Определить полное джоулево тепло, выделяющееся в среде в 1 секунду.
Решение. Искомое тепло Q дается интегралом
взятым по объему среды. Преобразуем этот интеграл в интеграл по поверхности, учитывая, что на внешней границе среды
а на поверхностях электродов
. В результате получим
Рис. 15.
2. Определить распределение потенциала в проводящей сфере, в которую ток J входит через один полюс и выходит через противоположный полюс.
Решение. Вблизи полюсов О и О (рис. 15) потенциал соответственно должен иметь вид
Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, а интегралы — а
по бесконечно малым полусферам вокруг точек О и О равны
Ищем потенциал в произвольной точке Р сферы в виде
где
есть решение уравнения Лапласа, не имеющее полюсов внутри сферы и на ее поверхности. Из симметрии очевидно, что
(как и
) есть функция только сферических координат
.
На поверхности сферы
должно быть
Произведя дифференцирование, найдем отсюда для
следующее граничное условие:
Если
есть какое-либо решение уравнения Лапласа, то функция
тоже есть решение. Сравнивая с написанным граничным условием, легко заключить, что ему удовлетворяет решение
Подставив
и произведя интегрирование, получим окончательно
отсчитывается от значения
при
3. Показать, что распределение тока в проводящей среде отвечает минимуму диссипации энергии.
Решение. Речь идет о минимуме интеграла
при дополнительном условии
, выражающем сохранение заряда. Варьируя по j интеграл
(
-лагранжев неопределенный множитель) и приравнивая вариацию нулю, получим уравнение
или
совпадающее с уравнениями (21,2) и (21,3).