§ 63. Движение проводника в магнитном поле

Во всем предыдущем изложении молчаливо подразумевалось, что проводники в электромагнитном поле покоятся (относительно системы отсчета К, в которой определены все величины Е, Н и т. д.). В частности, и связь между током и полем справедлива, вообще говоря, лишь для неподвижных проводников.

Для определения связи между током и полем в движущемся проводнике перейдем от системы отсчета К к другой системе, К, в которой проводник (или его отдельный участок) в данный момент времени покоится. В этой системе имеем , где Е — напряженность электрического поля в Но согласно известной формуле преобразования полей Е выражается через поле в системе К посредствомх)

где v — скорость системы К относительно системы К, т. е. в данном случае скорость проводника (которую мы предполагаем, естественно, малой по сравнению со скоростью света). Таким образом, находим

Это и есть формула, определяющая связь между током и полем в движущихся проводниках. По поводу ее вывода надо сделать еще следующее замечание. Произведя переход от одной системы отсчета к другой, мы преобразовали поле, но оставили величину j неизменной. Преобразование плотности тока привело бы, при , к появлению добавочных членов высшего порядка малости. В формуле же (63,2) второй член, появившийся в результате преобразования поля, вообще говоря, не мал по сравнению с первым, хотя и содержит множитель .

Так, если электрическое поле само обусловлено электромагнитной индукцией от переменного магнитного поля, то его порядок величины содержит лишний множитель 1 с по сравнению с магнитным полем.

Диссипация энергии в проводнике при протекании в нем заданного тока не может, разумеется, зависеть от движения проводника. Поэтому плотность выделения (в 1 с) джоулева тепла в движущемся проводнике, выраженная через плотность тока, дается той же формулой как и в неподвижном проводнике. Но вместо произведения теперь имеем

Таким образом, в движущемся проводнике сумма играет роль «эффективной» напряженности электрического поля, создающей ток проводимости. Поэтому электродвижущая сила, действующая в замкнутой линейной цепи С, дается интегралом

Преобразуем его следующим образом. Согласно уравнению

Максвелла имеем

или, обозначив посредством Ф магнитный поток через поверхность S, опирающуюся на контур тока,

Производная по времени с индексом v = 0 означает изменение магнитного потока, обусловленное изменением во времени самого магнитного поля при неизменном положении контура С.

Во втором же члене пишем , где — бесконечно малое смещение элемента контура. Тогда

где — элемент площади «боковой» поверхности между двумя бесконечно близкими положениями С и С контура тока, занимаемыми им в моменты времени (рис. 38). Поскольку полный магнитный поток через всякую замкнутую поверхность равен нулю, то ясно, что поток через боковую поверхность равен разности потоков через поверхности, опирающиеся на С и С. Таким образом,

где производная по времени означает изменение магнитного потока, связанное с перемещением проводника при неизменном поле.

Рис. 38.

Складывая оба члена, получим окончательно

где производная по времени означает теперь полное изменение магнитного потока через движущийся контур. Таким образом, выражаемый формулой (63,4) закон Фарадея справедлив при любой причине изменения магнитного потока как от изменения самого поля (о чем уже шла речь в § 61, формула (61,13)), так и от движения проводника.

В постоянном магнитном поле изменение потока может быть связано только с перемещением контура. Если контур движется так, что все его точки перемещаются вдоль силовых линий поля, никогда не пересекая их, то поток поля через контур не меняется. Это обстоятельство является очевидным следствием того, что магнитный поток через всякую замкнутую поверхность равен нулю, а поток через «боковую» поверхность, описываемую движущимся контуром, в этом случае равен нулю тождественно (так как на ней . Таким образом, можно сказать, что для возникновения индукционной электродвижущей силы проводник во всяком случае должен пересекать при своем движении магнитные силовые линии.

Электромагнитное поле в движущихся проводниках определяется системой уравнений

Выразив из второго уравнения Е через Н и подставив в первое, получим

В однородном проводнике с постоянными проводимостью G и магнитной проницаемостью

Эти уравнения обобщают те, которые были получены в § 58.

Следует, однако, указать, что если имеется всего один проводник, движущийся как целое (не деформируясь) во внешнем магнитном поле, то решение задачи значительно упрощается при использовании системы координат, жестко связанной с телом. В этой системе проводник неподвижен, а внешнее поле меняется со временем по заданному закону, так что мы возвращаемся к типу задач о токах Фуко, рассмотренных в § 59. Возможность такого перехода связана, однако, не с галилеевским (или эйнштейновским) принципом относительности, так как новая система координат, вообще говоря, неинерциальна. Эквивалентность обеих задач есть следствие отмеченной выше независимости электромагнитной индукции от причины, вызывающей изменение магнитного потока. В ней можно убедиться и чисто математическим путем. Для этого раскроем выражение , учитывая при этом, что , а при движении тела как целого также и (это равенство выражает собой несжимаемость тела). Тогда левая сторона уравнения (63,6) примет вид

Но эта сумма есть не что иное, как производная от В по времени, определяющая изменение В по отношению к вращающемуся телу. Действительно, сумма первых двух членов есть «субстанциональная» производная по времени , дающая изменение В в точке, перемещающейся со скоростью v. Третий же член учитывает изменение ориентации В по отношению к телу: он равен нулю при чисто поступательном движении ) и равен при вращении тела где — угловая скорость).

В заключение этого параграфа рассмотрим своеобразное явление (униполярную индукцию), возникающее при вращении намагниченного проводника. Оно заключается в том, что если при помощи двух скользящих контактов (А и В на рис. 39) присоединить к вращающемуся магниту неподвижный провод, то по последнему потечет ток. Не представляет труда вычислить электродвижущую силу, создающую этот ток.

Для этого проще всего перейти к системе координат, вращающейся вместе с магнитол Если - угловая скорость вращения магнита, то в новой систем провод вращается с угловой скоростью — (а магнит неподвижен). Таким образом, мы имеем теперь дело с проводником, движущимся в заданном постоянном магнитном поле В, создаваемом неподвижным магнитом; искажением поля самим проводником мы пренебрегаем. Согласно формуле (63,3) электродвижущая сила, действующая между концами провода, дается интегралом

взятым вдоль длины провода. Эта формула и решает поставленную задачу.

Рис. 39.