§ 66. Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике

В обычной гидродинамике диссипативные процессы определяются тремя величинами двумя коэффициентами вязкости и коэффициентом теплопроводности. В магнитной гидродинамике это число значительно возрастает: как ввиду появления новых величин электрической природы, так и вследствие наличия в каждой точке выделенного направления — направления Н, чем нарушается изотропия жидкости. Мы ограничимся, однако, простейшим случаем, когда все кинетические коэффициенты можно считать постоянными вдоль среды, в частности — не зависящими от величины и направления магнитного поля. Тогда к обычным коэффициентам вязкости и теплопроводности добавляется всего одна величина — электрическая проводимость .

Предположение о независимости кинетических коэффициентов от магнитного поля подразумевает выполнение определенных условий, существенно сужающих область применимости уравнений по сравнению с уравнениями магнитной гидродинамики идеальной жидкости. Именно, длина пробега носителей тока должна быть мала по сравнению с радиусом кривизны их траектории в магнитном поле; другими словами, частота столкновений должна быть велика по сравнению с ларморовской частотой носителей тока. Это условие нарушается в слишком разреженной среде или в слишком сильном магнитном поле.

При учете вязкости и электропроводности уравнение (65,2) заменяется полным уравнением (63,7),

а магнитогидродинамическое уравнение Эйлера (65,4) заменяется уравнением Навье—Стокса

Отметим, что уравнение (66,1) не содержит вязкости; поэтому свойство «вмороженности» силовых линий при а остается и в вязкой идеально проводящей жидкости.

Уравнение адиабатичности (65,6) заменяется уравнением переноса тепла. В обычной гидродинамике оно гласит

(см. VI § 49). Выражение в левой стороне равенства представляет собой количество тепла (отнесенное к 1 см3), выделяющееся в 1 с в движущемся элементе жидкости. Выражение же в правой стороне равенства есть энергия, диссипируемая в том же объеме за то же время. Первый член в нем связан с вязкостью; есть вязкий тензор напряжений

Второй же дает диссипацию, связанную с теплопроводностью. В проводящей жидкости сюда должно быть добавлено джоулево тепло. Отнесенное к единице объема, оно равно

Поэтому уравнение переноса тепла в магнитной гидродинамике гласит

В тензоре плотности потока импульса добавляется вязкий тензор напряжений:

Плотность же потока тепла дается теперь выражением

(где — вектор с составляющими ). Здесь добавляются члены, связанные как с вязкостью и теплопроводностью, так и с электрической проводимостью; последний получается при подстановке в вектор Пойнтинга напряженности Е из (63,2):

Уравнения несколько упрощаются, если движущуюся жидкость можно считать несжимаемой. Уравнение непрерывности сводится тогда к а в уравнении (66,2) исчезает предпоследний член. Выпишем еще раз соответствующую систему уравнений (в уравнениях (66,1—2) удобно при этом преобразовать члены с помощью известных формул векторного анализа):

( — кинематическая вязкость). Что касается уравнения (66,3), то для решения задач о движении несжимаемой жидкости оно не нужно, если только мы не интересуемся специально распределением температуры в ней.

В обычной гидродинамике вводится, как известно, число Рейнольдса, характеризующее роль вязких членов в уравнениях движения по сравнению с конвекционными: , где — характерные параметры длины и скорости для данного движения жидкости. Наряду с этим числом, в магнитной гидродинамике можно ввести магнитное число Рейнольдса

характеризующее роль члена с проводимостью в уравнении (66,1). Этот член аналогичен члену в уравнении Навье—Стокса, и величина играет роль «коэффициента диффузии» магнитного поля. При может оказаться возможным пренебрежение этим членом. Однако, вопрос о том, в каких случаях фактически можно пренебречь диссипативными процессами в жидкости, не имеет общего ответа, так как соответствующие условия существенно зависят от конкретного характера движения; например, они совершенно различны для стационарных и нестационарных движений.

В обратном предельном случае плохо проводящей жидкости, , система магнитогидродинамических уравнений допускает существенное упрощение (С. И. Брагинский, 1959).

Дело в том, что в этом случае возмущение магнитного поля движением жидкости мало. Если невозмущенное поле не зависит от времени (что и предполагается ниже), то его изменение Н в движущейся жидкости можно оценить из сравнения двух членов в правой стороне уравнения (66,1):

откуда и при действительно . Пренебрегая этим изменением, можно считать магнитное поле Н совпадающим с тем которое было бы создано внешними источниками в пустоте. При этом, ввиду постоянства имеем , т. е. электрическое поле потенциально: . Уравнение для потенциала можно получить из равенства , удовлетворяющегося тождественно при пренебрежении током смещения (т. е. в силу уравнения ). Подставив сюда плотность тока в виде

и заметив, что для невозмущенного поля получим (при ) уравнение

(66,11)

Вторым уравнением является уравнение Навье—Стокса

(66,12)

(выписываем его для несжимаемой жидкости), в котором объемная плотность сторонних сил

(66,13)

Уравнения (66,11-13) и составляют искомую систему.