Задачи

1. Определить поле, создаваемое в пустоте пироэлектрическим шаром. Решение. Внутри шара имеется однородное поле, в котором напряженность и индукция связаны соотношением (как это следует из (8,1) при т. е. в отсутствие внешнего приложенного поля). Подставляя в (13,1), получим уравнение Выберем оси координат вдоль главных осей тензора Тогда найдем из этого уравнения

Поле вне шара есть поле электрического диполя с электрическим моментом .

2. Определить поле точечного заряда в однородной анизотропной среде . Решение. Поле точечного заряда описывается уравнением (заряд находится в начале координат). В анизотропной среде выбирая оси вдоль главных осей тензора получим для потенциала уравнение

Путем введения новых переменных согласно

оно приводится к виду

который формально отлйчается от уравнения для поля в пустоте лишь заменой на . Поэтому

В тензорных обозначениях, не предрешающих выбор системы координат,

где — определитель тензора .

3. Определить емкость проводящего шара (радиуса а), погруженного в анизотропную диэлектрическую среду.

Решение. Путем преобразования (1) определение поля шара с зарядом в анизотропной среде сводится к определению поля в пустоте, создаваемого зарядом , распределенным по поверхности эллипсоида

Воспользовавшись формулой (4,14) для потенциала поля эллипсоида, получим для искомой емкости;

4. Определить поле в плоскопараллельной анизотропной пластинке, находящейся во внешнем однородном поле

Решение. Из условия непрерывности касательной составляющей напряженности следует, что

где Е — напряженность однородного поля внутри пластинки, — единичный вектор нормали к ее поверхности и А — постоянная. Псслгдняя определяется из условия непрерывности нормальной компоненты индукции: или

Отсюда

В частности, если внешнее поле направлено по нормали к пластинке (ось ), то

Если поле параллельно пластинке и направлено по оси х:

5. Определить момент сил, действующих на анизотропный диэлектрический шар, находящийся (в пустоте) во внешнем однородном поле Р.

Решение. Согласно (8,2) имеем для напряженности поля внутри шара

(и аналогично для , причем оси х, выбраны вдоль главных осей тензора . Отсюда для компонент дипольного момента шара (радиуса а)

Компонента же действующего на шар момента сил

и аналогично для

6. В неограниченной анизотропной среде имеется сферическая полость. Выразить поле в полости через однородное поле в среде вдали от полости.

Решение. Преобразованием (1) задачи 2 уравнение для потенциала поля в среде приводится к уравнению Лапласа для поля в пустоте. Уравнение же для потенциала поля в полости, напротив, превращается в уравнение для потенциала в среде с диэлектрическими проницаемостями . Кроме того, шар (радиуса а) превращается в эллипсоид с полуосями Пусть — коэффициенты деполяризации такого эллипсоида (определяемые по формулам (4,25)). Применяя к полю этого эллипсоида формулу (8,7), получим соотношение

(и аналогичные — вдоль осей у и ). Возвращаясь к прежним координатам, имеем

так что для поля в полости получаем окончательно