§ 55. Критическое поле

Цилиндрический сверхпроводник в продольном магнитном поле обладает дополнительной магнитной энергией, равной

В нормальном же (несверхпроводящем) состоянии полная энергия цилиндра практически не изменилась бы при включении внешнего поля (слабым диа- или парамагнетизмом несверх проводящего металла мы здесь и ниже пренебрегаем, т. е. полагаем для него

Уже отсюда ясно, что в достаточно сильных магнитных полях сверхпроводящее состояние металла должно оказаться термодинамически менее выгодным, чем нормальное, и потому должно произойти, как говорят, разрушение сверхпроводимости.

Значение напряженности продольного магнитного поля, при котором наступает разрушение сверхпроводимости в цилиндрическом теле, зависит от рода металла, а также от его температуры (и давления). Это значение называют критическим полем оно является одной из важнейших характеристик сверхпроводника.

Разрушение сверхпроводимости в цилиндре при достижении полем критического значения наступает во всем его объеме, что связано с однородностью поля вдоль всей поверхности такого тела. В телах же другой формы разрушение сверхпроводимости представляет собой более сложный процесс, в котором объем, занятый веществом в нормальном состоянии, постепенно возрастает в целом интервале значений (об этом будет идти речь подробнее в следующем параграфе).

Таким образом, при всякой температуре (ниже точки перехода) металл может существовать как в сверхпроводящем , так и в нормальном состоянии. Обозначим посредством полные свободные энергии сверхпроводящего и нормального тел в отсутствие внешнего магнитного поля; эти величины, характеризуя вещество как таковое, зависят, разумеется, только от объема, но не от формы тела. Свободная энергия в -состоянии вообще не меняется при включении внешнего поля (поэтому мы не пишем индекса 0 у ). В s-состоянии же магнитное поле существенно меняет свободную энергию. Для сверхпроводящего цилиндра при заданных Т и V свободная энергия в продольном внешнем поле равна

Отсюда можно найта все остальные термодинамические величины. Дифференцируя (55,1) по объему, найдем действующее на тело давление

где - давление (при заданных V и Т) в отсутствие поля.

Равенство (55,2) определяет зависимость между Р, V и Т, т. е. представляет собой уравнение состояния сверхпроводящего цилиндра во внешнем магнитном поле. Мы видим, что объем V (Р, Т) при наличии магнитного поля такой же, каким был бы в отсутствие магнитного поля при давлении . Этот результат находится, естественно, в согласии с формулой (53,2) для силы, действующей на поверхность сверхпроводника в магнитном поле.

Термодинамический потенциал сверхпроводящего цилиндра равен

причем объем V должен быть выражен здесь через согласно (55,2). Поэтому можно написать в следующем виде:

где — термодинамический потенциал в отсутствие поля. Дифференцируя это равенство по Т и по Р, получим аналогичные соотношения для энтропии и объема:

Теперь можно написать условие, определяющее критическое поле. Переход цилиндра из s- в n-состояние произойдет тогда, когда (при заданных Р и Т) станет меньше . В момент же перехода должно быть , т. е.

Это точное термодинамическое соотношение. Обычно изменение термодинамического потенциала в магнитном поле представляет собой небольшую поправку к . Тогда левую сторону уравнения (55,6) можно разложить в ряд, и первые члены разложения дают:

где — объем сверхпроводящего цилиндра в отсутствие поля.

Таким образом, в этом приближении можно сказать, что термодинамический потенциал вещества (отнесенный к единице объема) в нормальном состоянии на больше, чем в сверхпроводящем.

Обозначим посредством температуру перехода в отсутствие магнитного поля. Переход в этой точке является фазовым переходом второго рода. Поэтому, в частности, обращение в нуль при должно происходить непрерывным образом. Из общей теории фазовых переходов второго рода известно, что изменение термодинамического потенциала вблизи точки перехода пропорционально квадрату разности температур Из (55,7) можно поэтому заключить, что вблизи критическое поле меняется с температурой по линейному закону

Продифференцируем обе стороны равенства (55,6) по температуре вдоль кривой зависимости от Т (при заданном давлении). Учитывая при этом формулы (55,4-5), получим

где все величины относятся к моменту перехода между обоими состояниями тела (т. е. к полю Умножив эту разность на Т, получим теплоту перехода

(W. Н. Keesom, 1924). При переходе в точке (в отсутствие магнитного поля) эта величина обращается в нуль вместе с в соответствии с тем, что здесь мы имеем фазовый переход второго рода. Переход же, происходящий при (в магнитном поле), сопровождается поглощением или выделением тепла, т. е. является фазовым переходом первого рода. Фактически монотонно растет с понижением температуры во всем интервале от до 0. Поэтому производная всегда отрицательна и из (55,10) видно, что , т. е. тепло поглощается при переходе (изотермическом) из сверхпроводящего в нормальное состояние.

При энтропия всякого тела согласно теореме Нернста должна обращаться в нуль. Поэтому из (55,9) видно, что при должно быть , т. е. кривая пересекает ось Н под прямым углом.

Продифференцируем разность (55,9) еще раз по температуре, снова используя при этом равенства (55,4-5). Учитывая также, что получим в результате

(55,11)

Умножив обе стороны этого равенства на Т, получим разность теплоемкостей (при постоянном давлении) обеих фаз. Члены, содержащие коэффициент теплового расширения и коэффициент сжимаемости вещества, обычно очень малы по сравнению с остальными членами; пренебрегая ими, получим

(68.12)

Эту формулу можно получить и путем непосредственного дифференцирования приближенного соотношения (55,7). В этом приближении разница между несущественна; можно также считать одинаковыми .

При первый член в (55,12) обращается в нуль, и мы получаем следующую формулу, связывающую скачок теплоемкости при фазовом переходе второго рода в отсутствие внешнего магнитного поля с температурной зависимостью :

(A. J. Rutgers, 1933). Отсюда видно, что в этом случае При понижении температуры (т. е. когда сверхпроводимость разрушается магнитным полем), разность меняет свой знак в соответствии с тем, что разность обращаясь в нуль при Т = 0 и при , должна проходить в этом интервале через максимум.

Аналогичным образом можно рассмотреть эффекты, связанные с изменением объема при переходе. Для этого дифференцируем уравнение (55,6) по давлению вдоль кривой зависимости от Р (при заданной температуре); это дает

или

(55,14)

чем и определяется изменение объема в момент перехода.

В точке эта разность, как и разность энтропий, обращается в нуль. Переход же при температурах сопровождается изменением объема, которое может иметь оба знака в зависимости от знака производной При изменение объема отсутствует, но имеется скачок коэффициента сжимаемости, который легко определить путем дифференцирования равенства (55,14).

Заметим, что если подставить в (55,14)

(что получается дифференцированием уравнения ) ), то получим «уравнение Клапейрона—Клаузиуса»:

где производная определяет изменение давления, необходимое для того, чтобы приложенное внешнее поле как раз оставалось критическим при изменении температуры.

Критическое поле имеет значительно более широкий физический смысл, чем это отражено в его определении по поведению сверхпроводящего цилиндра. Равенство является условием равновесия, которое должно выполняться в каждой точке поверхности раздела между нормальной и сверхпроводящей фазами вещества в одном и том же теле. Это очевидно уже из следующих простых соображений. Если цилиндр находится в продольном магнитном поле, как раз равном то как граничные условия для магнитного поля, так и условия термодинамической устойчивости в равной степени выполняются для всех состояний, в которых любая внутренняя цилиндрическая часть объема образца находится в сверхпроводящем, а внешняя в нормальном состоянии. При этом на их границе поле . Таким образом, поверхность раздела, на которой находится в безразличном равновесии по отношению к месту своего расположения. Это и есть свойство, характеризующее фазовое равновесие.

В переменном магнитном поле граница между сверхпроводящей и нормальной фазами перемещается. Кинетика этого перемещения представляет собой довольно сложный процесс, рассмотрение которого требует одновременного решения электродинамических уравнений и уравнения теплопроводности с учетом тепла, выделяющегося при фазовом переходе. Не останавливаясь здесь на этом исследовании укажем лишь граничное условие, которое должно выполняться на движущейся границе между и s-фазами.

Для его вывода рассмотрим систему координат К, движущуюся со скоростью v — скоростью перемещения границы между фазами. Согласно известной формуле преобразования полей электрическое поле Е в системе К выражается через поля Е и В в неподвижной системе К согласно

(см. (63,1)). Поскольку в системе К. граница раздела покоится, то на ней справедливо обычное условие непрерывности тангенциальной компоненты Е, т. е. величины

(n — единичный вектор нормали к поверхности, направленный вдоль скорости v). В сверхпроводящей фазе Е = 0, В = 0, а в нормальной (на границе) . Мы находим, следовательно, что на движущейся поверхности раздела появляется тангенциальное электрическое поле, перпендикулярное к магнитному и по величине равное

(55,16)