Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 117. Общая теория рассеяния в изотропных средах

В изложенной в предыдущих главах теории распространения электромагнитных волн в прозрачных средах совершенно не рассматривалось сравнительно слабое, но в то же время принципиально важное явление рассеяния. Это явление заключается в возникновении слабых (рассеянных) волн с частотами и направлениями, отличающимися от частоты и направления распространения основной волны.

Происхождение рассеяния сводится к изменению движения входящих в состав среды зарядов под влиянием поля падающей волны; это изменение приводит к излучению новых — рассеянных — волн. Исследование микроскопического механизма рассеяния должно производиться на основе квантовой механики; оно, однако, не требуется для развития излагаемой ниже макроскопической теории. Поэтому мы ограничимся лишь краткими замечаниями о характере процессов, приводящих к изменению частоты волн при рассеянии.

Основной тип элементарных актов рассеяния заключается в поглощении первоначального кванта рассеивающей системой с одновременным испусканием ею другого кванта . Частота рассеянного кванта может быть как меньше, так и больше частоты со (эти случаи называют соответственно стоксовым и антистоксовым). В первом случае энергия поглощается системой, а во втором энергия отдается ею за счет перехода в энергетически более низкое состояние. Так, в простейшем случае газа рассеяние происходит на отдельных молекулах, и изменение частоты может произойти как за счет перехода молекулы на другой уровень энергии, так и за счет изменения кинетической энергии ее движения как целого.

Другой тип элементарного акта заключается в том, что первоначальный квант остается неизменным, но под его влиянием рассеивающая система излучает сразу два кванта: еще один квант с неизменной частотой и направлением и «рассеянный» квант . Энергия со) отбирается при этом у рассеивающей системы. Процессы этого типа, однако, в обычных условиях чрезвычайно редки по сравнению с процессами второго типа.

Переходя к изложению макроскопической теории рассеяния, прежде всего необходимо уточнить смысл производимых в ней усреднений. Усреднение величин в макроскопической электродинамике можно представить как совокупность двух операций. Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения, то можно различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по движению частиц. В теории рассеяния, однако, такое усреднение с самого начала не может быть произведено, так как усреднение по движению частиц приведет к исчезновению самого интересующего нас явления. Поэтому, например, фигурирующие в теории рассеяния напряженность и индукцию поля рассеянной волны надо понимать как результат лишь первой стадии усреднения.

Следует заметить, что при квантовом рассмотрении говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; вторая же стадия усреднения заключается в определении математического ожидания этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Поэтому, строго говоря, фигурирующие ниже электромагнитные величины надо понимать как квантовомеханические операторы. Это обстоятельство, однако, не отражается на окончательных результатах излагаемой в этом параграфе теории, и для упрощения записи формул мы рассматриваем все величины как классические.

Монохроматические компоненты понимаемых в указанном смысле величин поля рассеянной волны мы будем обозначать ниже посредством Е, Н, D, В. Поле же падающей волны будем обозначать буквами Е, Н без штриха. Везде в этой главе падающая волна предполагается монохроматической с частотой .

Для самого процесса распространения рассеянной волны по среде имело бы место соотношение между индукцией и напряженностью электрического поля (предполагаем рассеивающую среду изотропной). Это соотношение, однако, не содержит в себе явления рассеяния, т. е. возникновения рассеянной волны под влиянием падающей. Для его описания надо учесть в выражении для D дополнительные малые члены. В первом приближении такие члены должны быть линейны по полю падающей волны; наиболее общий вид такой зависимости:

(117,1)

Здесь обозначает — тензоры, характеризующие рассеивательные свойства среды. В общем случае они не обладают никакими свойствами симметрии, а их компоненты являются функциями как частоты со рассеянной волны, так и первоначальной частоты . Подчеркнем, что тензорный характер величин а и Р, разумеется, не противоречит предполагаемой изотропии среды.

Изотропными являются лишь полностью усредненные свойства среды; местные же отклонения от средних свойств, к которым и относятся дополнительные члены в (117,1), не обязаны быть изотропными.

Последний член в (117,1) связан с той частью рассеяния, которая осуществляется элементарными актами вынужденного испускания. Действительно, все члены в правой стороне равенства (117,1) должны соответствовать той же частоте , что и D в левой стороне равенства. Поскольку Е имеет частоту , то частота величин должна быть , чтобы частота произведений была . Но есть частота, характерная как раз для актов вынужденного излучения. Ввиду упомянутой выше малости этого эффекта пренебрежем соответствующим членом в (117,1) и будем писать ниже

(117,2)

Аналогичными формулами выражается также и связь между В и Н. Мы, однако, будем пренебрегать магнитными свойствами среды, обычно несущественными для явления рассеяния света, и потому положим .

Уравнения Максвелла для поля рассеянной волны гласят:

Исключив Н из этих уравнений, найдем

Подставив сюда согласно (117,2)

обозначает вектор с составляющими и учитывая, что получим следующее уравнение для D':

(117,3)

где — волновой вектор рассеянной волны.

Для точной формулировки условий, в которых должно быть решено уравнение (117,3), разделим рассеивающую среду на малые участки (размеры которых, однако, велики по сравнению с молекулярными расстояниями). В силу молекулярного характера процессов рассеяния корреляция между этими процессами в различных точках среды (не кристаллической!) распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка молекулярных.

Поэтому рассеянный свет, исходящий из различных участков среды, некогерентен. Мы можем, следовательно, рассматривать рассеяние от одного из участков так, как если бы в остальном объеме среды свет распространялся без рассеяния. Поступая таким образом, вычислим поле рассеянной волны на большом расстоянии от рассеивающего участка тела. Воспользовавшись известным приближенным выражением для запаздывающих потенциалов на большом расстоянии от источника (см. II § 66), можно сразу написать требуемое решение уравнения (117,3):

Здесь — радиус-вектор от какой-либо точки внутри рассеивающего объема (по которому производится интегрирование) до точки наблюдения поля, а вектор к имеет направление . Стоящий здесь интеграл не зависит от координат точки наблюдения; произведя дифференцирование и сохранив, как обычно, лишь члены с , получим

Поскольку в точке наблюдения мы рассматриваем среду как нерассеивающую, то связь между D и Е в этой точке дается просто соотношением . В поле падающей волны выделим пространственный периодический множитель, представив напряженность в виде

(117,5)

во втором выражении комплексная амплитуда записана как где — вещественная величина а е — единичный комплексный вектор определяющий поляризацию волны. Введя затем обозначение

(117,6)

напишем

Вектор E перпендикулярен к направлению к рассеянной волны и определяется перпендикулярной к к проекцией

Определив таким образом неусредненное поле рассеянной волны, мы можем теперь перейти к исследованию интенсивности и поляризации рассеянного света. Для этого надо образовать тензор

(117,8)

где угловые скобки означают не производившееся до сих пор окончательное усреднение по движению частиц в теле; усреднение квадратичного выражения дает, естественно, отличный от нуля результат.

Поскольку то тензор имеет отличные от нуля компоненты лишь в плоскости, перпендикулярной к к; эти компоненты составляют (в этой плоскости) двумерный тензор (греческими буквами обозначаем индексы, пробегающие два значения). Тензор по определению, эрмитов: Он может быть приведен к главным осям, причем отношение его двух главных значений дает степень деполяризации, а их сумма пропорциональна полной интенсивности света.

В произведения входят произведения интегралов они то и должны быть подвергнуты усреднению. Написав произведение двух интегралов в виде двойного интеграла, имеем

(117,9)

Верхние индексы (1), (2) указывают, что значения а берутся в двух различных точках пространства.

При усреднении подынтегрального выражения надо учесть, что корреляция между значениями а в разных точках тела распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка молекулярных. Это значит, что после усреднения подынтегральное выражение будет существенно отлично от нуля лишь при , где а — порядок величины молекулярных расстояний. Показатель степени в экспоненциальном множителе , где К — длина рассеиваемой волны; но уже в силу необходимого условия применимости макроскопической теории вообще. Мы можем, следовательно, заменить экспоненциальный множитель единицей.

Далее, интегрирование по координатам можно заменить интегрированием по . Поскольку подынтегральное выражение зависит (после усреднения) только от , то

(117,10)

где V — объем рассеивающего участка тела; тот факт, что рассеяние должно быть пропорциональным V, очевиден и заранее. Отметим, что из формулы (117,10), а потому и из всех следующих ниже формул выпадает направление волнового вектора к падающей волны.

Стоящие в (117,10) интегралы образуют тензор четвертого ранга, зависящий только от свойств рассеивающей среды. Ввиду «зотропии среды этот тензор может выражаться только через единичный тензор (и скалярные постоянные). Прежде чем написать соответствующее выражение, заметим, что тензор как и всякий тензор второго ранга, можно представить в общем случае в виде суммы трех независимых частей:

(117,11)

где а — скаляр, - неприводимый (т. е. с равным нулю следом) симметричный тензор, - антисимметричный тензор:

(117,12)

При усреднении произведения могут оказаться отличными от нуля только произведения компонент каждой из указанных трех частей тензора по отдельности; ясно, что с помощью единичного тензора нельзя составить выражение, которое по своим свойствам симметрии могло бы соответствовать перекрестным произведениям. Эти соображения позволяют написать искомый тензор четвертого ранга в виде

(117,13)

где три члена по своей симметрии как раз отвечают произведениям скалярных, симметричных и антисимметричных частей тензоров . Упрощая это выражение по различным парам индексов, получим три равенства, из которых выясняется смысл коэффициентов в (117,13):

(117,14)

Эти величины вещественны и положительны.

Таким образом, тензор принимает вид

где не зависит от направления рассеяния и от поляризации падающей волны.

Этот тензор, разумеется, еще не поперечен направлению к. Искомый же тензор получится путем проецирования тензора (117,15) на плоскость, перпендикулярную к к (для чего достаточно выбрать систему координат с одной из осей вдоль к и взять компоненты тензора по двум другим осям).

Обратим внимание на то, что в общем случае рассеяние может быть представлено в виде наложения трех независимых процессов рассеяний скалярного, симметричного и антисимметричного типов, которым отвечают три члена в (117,15)

Если не интересоваться этим разбиением, может быть удобным представить выражение (117,15) в другом виде, приведя в нем подобные члены:

(117,16)

где

(117,17)

Формула (117,15) или (117,16) определяет угловое распределение и поляризационные свойства рассеянного света. В частности, спроецировав этот тензор на некоторый поляризационный вектор (определяющий направление Е), мы получим интенсивность определенным образом поляризованной компоненты рассеянного света, которая могла бы быть выделена соответствующим поляризационным анализатором:

(117,18)

или

(117,19)

Рассмотрим рассеяние линейно поляризованной волны. Такой поляризации отвечает вещественный вектор (см. II §§ 48, 50). Вместе с ним будут вещественны и все компоненты тензора рассеянного света. Это значит, что рассеянный свет частично поляризован, причем может быть разложен на две независимые (некогерентные) волны, каждая из которых линейно поляризована. Ввиду наличия в перпендикулярной к к плоскости всего одного избранного направления (выделяемого проекцией вектора на эту плоскость), заранее очевидно, что одна из этих волн поляризована с вектором в плоскости (ее интенсивность обозначим , а другая — перпендикулярно к этой плоскости (интенсивность ).

При вещественном выражение (117,16) сводится к

(117,20)

Сразу же отметим, что оно содержит всего две, а не три независимые постоянные. Соответственно, имеем

и, взяв в двух указанных выше направлениях, найдем угловые распределения двух некогерентных составляющих рассеянного света:

(117,21)

где — угол между и направлением рассеяния к. Отметим, что второе из распределений оказывается изотропным.

При прохождении через среду естественного света рассеянный свет будет частично поляризован. Соответствующий тензор получается из (117,16) усреднением по всем направлениям в плоскости, перпендикулярной к к. Оно осуществляется формулой

(117,22)

; это — тензор второго ранга, зависящий только от направления , обращающийся в 1 при упрощении и удовлетворяющий условию

Таким образом, при рассеянии естественного света

(117,23)

Из соображений симметрии очевидно, что две некогерентные компоненты рассеянного света будут линейно поляризованы с вектором в плоскости к, к (плоскость рассеяния) и перпендикулярно к ней; обозначим интенсивности этих компонент соответственно как Из формулы

получим

(117,24)

где — угол рассеяния (угол между ).

Выпишем еще формулы для углового распределения и поляризационных свойств каждого из трех типов рассеяния по отдельности.

Они получаются из (117,21) и (117,24) просто путем подстановки в них для а и b соответствующих членов из (117,17).

При скалярном рассеянии линейно поляризованного света рассеянный свет тоже полностью поляризован, а угловое распределение интенсивности дается формулой

(117,25)

(здесь и ниже выражения для I нормированы так, что их усредненное по направлениям значение равно 1). При рассеянии же естественного света угловое распределение интенсивности и коэффициент деполяризации (отношение меньшего из к большему) даются формулами

(117,26)

Для симметричного рассеяния поляризованного света имеем

а при рассеянии естественного света:

Наконец, для антисимметричного рассеяния поляризованного света

(117,29)

а при рассеянии естественного света:

(117,30)

1
Оглавление
email@scask.ru