ГЛАВА XV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 117. Общая теория рассеяния в изотропных средах

В изложенной в предыдущих главах теории распространения электромагнитных волн в прозрачных средах совершенно не рассматривалось сравнительно слабое, но в то же время принципиально важное явление рассеяния. Это явление заключается в возникновении слабых (рассеянных) волн с частотами и направлениями, отличающимися от частоты и направления распространения основной волны.

Происхождение рассеяния сводится к изменению движения входящих в состав среды зарядов под влиянием поля падающей волны; это изменение приводит к излучению новых — рассеянных — волн. Исследование микроскопического механизма рассеяния должно производиться на основе квантовой механики; оно, однако, не требуется для развития излагаемой ниже макроскопической теории. Поэтому мы ограничимся лишь краткими замечаниями о характере процессов, приводящих к изменению частоты волн при рассеянии.

Основной тип элементарных актов рассеяния заключается в поглощении первоначального кванта рассеивающей системой с одновременным испусканием ею другого кванта . Частота рассеянного кванта может быть как меньше, так и больше частоты со (эти случаи называют соответственно стоксовым и антистоксовым). В первом случае энергия поглощается системой, а во втором энергия отдается ею за счет перехода в энергетически более низкое состояние. Так, в простейшем случае газа рассеяние происходит на отдельных молекулах, и изменение частоты может произойти как за счет перехода молекулы на другой уровень энергии, так и за счет изменения кинетической энергии ее движения как целого.

Другой тип элементарного акта заключается в том, что первоначальный квант остается неизменным, но под его влиянием рассеивающая система излучает сразу два кванта: еще один квант с неизменной частотой и направлением и «рассеянный» квант . Энергия со) отбирается при этом у рассеивающей системы. Процессы этого типа, однако, в обычных условиях чрезвычайно редки по сравнению с процессами второго типа.

Переходя к изложению макроскопической теории рассеяния, прежде всего необходимо уточнить смысл производимых в ней усреднений. Усреднение величин в макроскопической электродинамике можно представить как совокупность двух операций. Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения, то можно различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по движению частиц. В теории рассеяния, однако, такое усреднение с самого начала не может быть произведено, так как усреднение по движению частиц приведет к исчезновению самого интересующего нас явления. Поэтому, например, фигурирующие в теории рассеяния напряженность и индукцию поля рассеянной волны надо понимать как результат лишь первой стадии усреднения.

Следует заметить, что при квантовом рассмотрении говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; вторая же стадия усреднения заключается в определении математического ожидания этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Поэтому, строго говоря, фигурирующие ниже электромагнитные величины надо понимать как квантовомеханические операторы. Это обстоятельство, однако, не отражается на окончательных результатах излагаемой в этом параграфе теории, и для упрощения записи формул мы рассматриваем все величины как классические.

Монохроматические компоненты понимаемых в указанном смысле величин поля рассеянной волны мы будем обозначать ниже посредством Е, Н, D, В. Поле же падающей волны будем обозначать буквами Е, Н без штриха. Везде в этой главе падающая волна предполагается монохроматической с частотой .

Для самого процесса распространения рассеянной волны по среде имело бы место соотношение между индукцией и напряженностью электрического поля (предполагаем рассеивающую среду изотропной). Это соотношение, однако, не содержит в себе явления рассеяния, т. е. возникновения рассеянной волны под влиянием падающей. Для его описания надо учесть в выражении для D дополнительные малые члены. В первом приближении такие члены должны быть линейны по полю падающей волны; наиболее общий вид такой зависимости:

(117,1)

Здесь обозначает — тензоры, характеризующие рассеивательные свойства среды. В общем случае они не обладают никакими свойствами симметрии, а их компоненты являются функциями как частоты со рассеянной волны, так и первоначальной частоты . Подчеркнем, что тензорный характер величин а и Р, разумеется, не противоречит предполагаемой изотропии среды.

Изотропными являются лишь полностью усредненные свойства среды; местные же отклонения от средних свойств, к которым и относятся дополнительные члены в (117,1), не обязаны быть изотропными.

Последний член в (117,1) связан с той частью рассеяния, которая осуществляется элементарными актами вынужденного испускания. Действительно, все члены в правой стороне равенства (117,1) должны соответствовать той же частоте , что и D в левой стороне равенства. Поскольку Е имеет частоту , то частота величин должна быть , чтобы частота произведений была . Но есть частота, характерная как раз для актов вынужденного излучения. Ввиду упомянутой выше малости этого эффекта пренебрежем соответствующим членом в (117,1) и будем писать ниже

(117,2)

Аналогичными формулами выражается также и связь между В и Н. Мы, однако, будем пренебрегать магнитными свойствами среды, обычно несущественными для явления рассеяния света, и потому положим .

Уравнения Максвелла для поля рассеянной волны гласят:

Исключив Н из этих уравнений, найдем

Подставив сюда согласно (117,2)

обозначает вектор с составляющими и учитывая, что получим следующее уравнение для D':

(117,3)

где — волновой вектор рассеянной волны.

Для точной формулировки условий, в которых должно быть решено уравнение (117,3), разделим рассеивающую среду на малые участки (размеры которых, однако, велики по сравнению с молекулярными расстояниями). В силу молекулярного характера процессов рассеяния корреляция между этими процессами в различных точках среды (не кристаллической!) распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка молекулярных.

Поэтому рассеянный свет, исходящий из различных участков среды, некогерентен. Мы можем, следовательно, рассматривать рассеяние от одного из участков так, как если бы в остальном объеме среды свет распространялся без рассеяния. Поступая таким образом, вычислим поле рассеянной волны на большом расстоянии от рассеивающего участка тела. Воспользовавшись известным приближенным выражением для запаздывающих потенциалов на большом расстоянии от источника (см. II § 66), можно сразу написать требуемое решение уравнения (117,3):

Здесь — радиус-вектор от какой-либо точки внутри рассеивающего объема (по которому производится интегрирование) до точки наблюдения поля, а вектор к имеет направление . Стоящий здесь интеграл не зависит от координат точки наблюдения; произведя дифференцирование и сохранив, как обычно, лишь члены с , получим

Поскольку в точке наблюдения мы рассматриваем среду как нерассеивающую, то связь между D и Е в этой точке дается просто соотношением . В поле падающей волны выделим пространственный периодический множитель, представив напряженность в виде

(117,5)

во втором выражении комплексная амплитуда записана как где — вещественная величина а е — единичный комплексный вектор определяющий поляризацию волны. Введя затем обозначение

(117,6)

напишем

Вектор E перпендикулярен к направлению к рассеянной волны и определяется перпендикулярной к к проекцией

Определив таким образом неусредненное поле рассеянной волны, мы можем теперь перейти к исследованию интенсивности и поляризации рассеянного света. Для этого надо образовать тензор

(117,8)

где угловые скобки означают не производившееся до сих пор окончательное усреднение по движению частиц в теле; усреднение квадратичного выражения дает, естественно, отличный от нуля результат.

Поскольку то тензор имеет отличные от нуля компоненты лишь в плоскости, перпендикулярной к к; эти компоненты составляют (в этой плоскости) двумерный тензор (греческими буквами обозначаем индексы, пробегающие два значения). Тензор по определению, эрмитов: Он может быть приведен к главным осям, причем отношение его двух главных значений дает степень деполяризации, а их сумма пропорциональна полной интенсивности света.

В произведения входят произведения интегралов они то и должны быть подвергнуты усреднению. Написав произведение двух интегралов в виде двойного интеграла, имеем

(117,9)

Верхние индексы (1), (2) указывают, что значения а берутся в двух различных точках пространства.

При усреднении подынтегрального выражения надо учесть, что корреляция между значениями а в разных точках тела распространяется, вообще говоря, лишь на расстояния порядка молекулярных. Это значит, что после усреднения подынтегральное выражение будет существенно отлично от нуля лишь при , где а — порядок величины молекулярных расстояний. Показатель степени в экспоненциальном множителе , где К — длина рассеиваемой волны; но уже в силу необходимого условия применимости макроскопической теории вообще. Мы можем, следовательно, заменить экспоненциальный множитель единицей.

Далее, интегрирование по координатам можно заменить интегрированием по . Поскольку подынтегральное выражение зависит (после усреднения) только от , то

(117,10)

где V — объем рассеивающего участка тела; тот факт, что рассеяние должно быть пропорциональным V, очевиден и заранее. Отметим, что из формулы (117,10), а потому и из всех следующих ниже формул выпадает направление волнового вектора к падающей волны.

Стоящие в (117,10) интегралы образуют тензор четвертого ранга, зависящий только от свойств рассеивающей среды. Ввиду «зотропии среды этот тензор может выражаться только через единичный тензор (и скалярные постоянные). Прежде чем написать соответствующее выражение, заметим, что тензор как и всякий тензор второго ранга, можно представить в общем случае в виде суммы трех независимых частей:

(117,11)

где а — скаляр, - неприводимый (т. е. с равным нулю следом) симметричный тензор, - антисимметричный тензор:

(117,12)

При усреднении произведения могут оказаться отличными от нуля только произведения компонент каждой из указанных трех частей тензора по отдельности; ясно, что с помощью единичного тензора нельзя составить выражение, которое по своим свойствам симметрии могло бы соответствовать перекрестным произведениям. Эти соображения позволяют написать искомый тензор четвертого ранга в виде

(117,13)

где три члена по своей симметрии как раз отвечают произведениям скалярных, симметричных и антисимметричных частей тензоров . Упрощая это выражение по различным парам индексов, получим три равенства, из которых выясняется смысл коэффициентов в (117,13):

(117,14)

Эти величины вещественны и положительны.

Таким образом, тензор принимает вид

где не зависит от направления рассеяния и от поляризации падающей волны.

Этот тензор, разумеется, еще не поперечен направлению к. Искомый же тензор получится путем проецирования тензора (117,15) на плоскость, перпендикулярную к к (для чего достаточно выбрать систему координат с одной из осей вдоль к и взять компоненты тензора по двум другим осям).

Обратим внимание на то, что в общем случае рассеяние может быть представлено в виде наложения трех независимых процессов рассеяний скалярного, симметричного и антисимметричного типов, которым отвечают три члена в (117,15)

Если не интересоваться этим разбиением, может быть удобным представить выражение (117,15) в другом виде, приведя в нем подобные члены:

(117,16)

где

(117,17)

Формула (117,15) или (117,16) определяет угловое распределение и поляризационные свойства рассеянного света. В частности, спроецировав этот тензор на некоторый поляризационный вектор (определяющий направление Е), мы получим интенсивность определенным образом поляризованной компоненты рассеянного света, которая могла бы быть выделена соответствующим поляризационным анализатором:

(117,18)

или

(117,19)

Рассмотрим рассеяние линейно поляризованной волны. Такой поляризации отвечает вещественный вектор (см. II §§ 48, 50). Вместе с ним будут вещественны и все компоненты тензора рассеянного света. Это значит, что рассеянный свет частично поляризован, причем может быть разложен на две независимые (некогерентные) волны, каждая из которых линейно поляризована. Ввиду наличия в перпендикулярной к к плоскости всего одного избранного направления (выделяемого проекцией вектора на эту плоскость), заранее очевидно, что одна из этих волн поляризована с вектором в плоскости (ее интенсивность обозначим , а другая — перпендикулярно к этой плоскости (интенсивность ).

При вещественном выражение (117,16) сводится к

(117,20)

Сразу же отметим, что оно содержит всего две, а не три независимые постоянные. Соответственно, имеем

и, взяв в двух указанных выше направлениях, найдем угловые распределения двух некогерентных составляющих рассеянного света:

(117,21)

где — угол между и направлением рассеяния к. Отметим, что второе из распределений оказывается изотропным.

При прохождении через среду естественного света рассеянный свет будет частично поляризован. Соответствующий тензор получается из (117,16) усреднением по всем направлениям в плоскости, перпендикулярной к к. Оно осуществляется формулой

(117,22)

; это — тензор второго ранга, зависящий только от направления , обращающийся в 1 при упрощении и удовлетворяющий условию

Таким образом, при рассеянии естественного света

(117,23)

Из соображений симметрии очевидно, что две некогерентные компоненты рассеянного света будут линейно поляризованы с вектором в плоскости к, к (плоскость рассеяния) и перпендикулярно к ней; обозначим интенсивности этих компонент соответственно как Из формулы

получим

(117,24)

где — угол рассеяния (угол между ).

Выпишем еще формулы для углового распределения и поляризационных свойств каждого из трех типов рассеяния по отдельности.

Они получаются из (117,21) и (117,24) просто путем подстановки в них для а и b соответствующих членов из (117,17).

При скалярном рассеянии линейно поляризованного света рассеянный свет тоже полностью поляризован, а угловое распределение интенсивности дается формулой

(117,25)

(здесь и ниже выражения для I нормированы так, что их усредненное по направлениям значение равно 1). При рассеянии же естественного света угловое распределение интенсивности и коэффициент деполяризации (отношение меньшего из к большему) даются формулами

(117,26)

Для симметричного рассеяния поляризованного света имеем

а при рассеянии естественного света:

Наконец, для антисимметричного рассеяния поляризованного света

(117,29)

а при рассеянии естественного света:

(117,30)