Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Методы решения электростатических задачОбщие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики, и в нашу цель не входит полное их изложение. Мы ограничимся здесь лишь указанием некоторых более простых приемов и решением ряда типичных задач, имеющих самостоятельный интерес. Метод изображений. Определение поля, создаваемого точечным зарядом В данном случае это достигается введением фиктивного заряда
где Распределение на граничной плоскости поверхностных зарядов, индуцированных точечным зарядом
где а — расстояние от заряда до плоскости. Легко убедиться в том, что полный заряд на этой плоскости равен
как и должно быть. Общий заряд, индуцированный посторонними зарядами на первоначально не заряженном изолированном проводнике, разумеется, остается равным нулю. Поэтому, если в данном случае проводящая среда (в действительности — проводник больших размеров) изолирована, то надо представлять себе, что одновременно с зарядом Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создаваемом точечным зарядом
обращается в нуль на сферической поверхности радиуса R, центр которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки Предположим сначала, что шаровой проводник поддерживается при постоянном потенциале Тогда поле, создаваемое вне шара точечным зарядом
Потенциал этого поля
(см. рис. 1). На поверхности шара индуцируется при этом отличный от нуля полный заряд, равный
и заряд притягивается к шару с силой
Если же проводящая сфера поддерживается при равном нулю полном заряде (изолированный незаряженный шар), то надо ввести еще один фиктивный заряд таким образом, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю, причем не должно нарушаться постоянство потенциала на этой поверхности. Это достигается помещением заряда
Энергия взаимодействия в этом случае будет
Рис. 1. Наконец, если заряд
Метод инверсии. Существует простой метод, который в ряде случаев позволяет по известному решению одной электростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариантность уравнения Лапласа по отношению к определенному преобразованию переменных. В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид
где посредством
(преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвестную функцию
Здесь
тоже есть решение этого уравнения. Предположим, что нам известно решение задачи об электростатическом поле, создаваемом некоторой системой проводников, которые находятся при одном и том же потенциале Выясним теперь, какая электростатическая задача будет решаться преобразованной функцией (3,11). Прежде всего, меняются фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Граничное условие постоянства потенциала на поверхности проводников автоматически выполняется, так как при
Поэтому при
соответствующему заряду
Наконец, рассмотрим поведение функции
Это значит, что в точке Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геометрические фигуры. Сферическая поверхность радиуса а с центром в точке
Произведя инверсию, получим уравнение
которое после умножения на
Таким образом, мы снова получаем сферу другого радиуса а и с центром в точке
от начала координат. Метод конформного отображения. Поле, зависящее только от двух декартовых координат (х, у), называют плоским. Мощным средством для решения плоских задач электростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории заключаются в следующем. Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям: Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда компоненты напряженности выражаются в виде производных от
Но такие соотношения между производными функций
является. аналитической функцией комплексного аргумента
или
Функция w называется комплексным потенцийлом. Силовые линии поля определяются уравнением
Выражая
откуда (х, у) = const. Таким образом, линии постоянных значений мнимой части функции
Как вещественная, так и мнимая части аналитической функции Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом
где
где
где Простейшим примером комплексного потенциала является потенциал поля заряженной прямой нити (совпадающей с осью
где
Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку
где С математической точки зрения функциональное соотношение Задача о клине. Приведем здесь для справок формулы, определяющие поле, создаваемое точечным зарядом
Рис. 2. Потенциал поля дается формулой
на поверхности проводника, т. е. при В частности, при
В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке нахождения заряда
Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающийся в бесконечность при Энергия взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть
|
1 |
Оглавление
|