§ 3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики, и в нашу цель не входит полное их изложение. Мы ограничимся здесь лишь указанием некоторых более простых приемов и решением ряда типичных задач, имеющих самостоятельный интерес.

Метод изображений. Определение поля, создаваемого точечным зарядом , расположенным вне проводящей среды, заполняющей полупространство, является простейшим примером применения так называемого метода изображений. Идея этого метода состоит в подборе таких дополнительных фиктивных точечных зарядов, которые вместе с данными зарядами создавали бы поле, для которого поверхность заданного проводника совпадала бы с одной из эквипотенциальных поверхностей поля.

В данном случае это достигается введением фиктивного заряда расположенного в точке, представляющей собой зеркальное отражение точки в граничной плоскости проводящей среды. Потенциал поля заряда и его «изображения» равен

где — расстояния точки наблюдения от зарядов . На граничной плоскости и потенциал имеет постоянное значение так что необходимое граничное условие действительно выполняется и (3,1) дает решение поставленной задачи. Отметим, что заряд притягивается к проводнику с силой (сила изображения), а энергия взаимодействия равна — .

Распределение на граничной плоскости поверхностных зарядов, индуцированных точечным зарядом , дается формулой

где а — расстояние от заряда до плоскости. Легко убедиться в том, что полный заряд на этой плоскости равен

как и должно быть.

Общий заряд, индуцированный посторонними зарядами на первоначально не заряженном изолированном проводнике, разумеется, остается равным нулю. Поэтому, если в данном случае проводящая среда (в действительности — проводник больших размеров) изолирована, то надо представлять себе, что одновременно с зарядом индуцируется заряд который, однако, будучи распределен по поверхности большого тела, имеет исчезающую плотность.

Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создаваемом точечным зарядом , находящимся вблизи шарового проводника. Для решения этой задачи воспользуемся следующим результатом, который легко проверить непосредственными вычислениями. Потенциал поля, создаваемого двумя точечными зарядами ,

обращается в нуль на сферической поверхности радиуса R, центр которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки не, на расстоянии от этих точек, причем удовлетворяют равенствам .

Предположим сначала, что шаровой проводник поддерживается при постоянном потенциале (шар заземлен).

Тогда поле, создаваемое вне шара точечным зарядом , находящимся на расстоянии l от центра шара (в точке А на рис. 1), будет совпадать с полем, создаваемым системой двух зарядов данным зарядом и фиктивным зарядом , помещенным внутри шара (точка А) на расстоянии Г от его центра, причем

Потенциал этого поля

(см. рис. 1). На поверхности шара индуцируется при этом отличный от нуля полный заряд, равный Энергия взаимодействия заряда с шаром равна

и заряд притягивается к шару с силой

Если же проводящая сфера поддерживается при равном нулю полном заряде (изолированный незаряженный шар), то надо ввести еще один фиктивный заряд таким образом, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю, причем не должно нарушаться постоянство потенциала на этой поверхности. Это достигается помещением заряда в центр шара. Потенциал искомого поля определится тогда формулой

Энергия взаимодействия в этом случае будет

Рис. 1.

Наконец, если заряд находится в сферической полости в проводящей среде (в точке А, рис. 1), то поле внутри полости совпадает с полем, которое создавалось бы зарядом и его «изображением» в точке А вне сферы (независимо от того, заземлен проводник или изолирован):

Метод инверсии. Существует простой метод, который в ряде случаев позволяет по известному решению одной электростатической задачи находить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариантность уравнения Лапласа по отношению к определенному преобразованию переменных.

В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид

где посредством обозначена угловая часть оператора Лапласа. Легко убедиться в том, что это уравнение сохраняет свою форму, если вместо переменной ввести новую переменную согласно

(преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвестную функцию согласно

Здесь - некоторая постоянная с размерностью длины (радиус инверсии). Таким образом, если функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то функция

тоже есть решение этого уравнения.

Предположим, что нам известно решение задачи об электростатическом поле, создаваемом некоторой системой проводников, которые находятся при одном и том же потенциале и системой точечных зарядов. Потенциал обычно определяют так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности. Здесь, однако, мы определим так, чтобы на бесконечности эта функция стремилась к тогда на проводниках

Выясним теперь, какая электростатическая задача будет решаться преобразованной функцией (3,11). Прежде всего, меняются фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Граничное условие постоянства потенциала на поверхности проводников автоматически выполняется, так как при будет и Далее, меняются расположение и величины всех точечных зарядов. Заряд, находящийся в точке переходит в точку и приобретает величину , которую можно определить следующим образом. При потенциал обращается в бесконечность по закону , где . С другой стороны, дифференцируя соотношение , найдем, что абсолютные значения малых разностей связаны друг с другом соотношением

Поэтому при функция стремится к бесконечности по закону

соответствующему заряду

Наконец, рассмотрим поведение функции вблизи начала координат. Точке соответствует . Но при функция стремится к Поэтому при функция обращается в бесконечность по закону

Это значит, что в точке находится заряд

Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геометрические фигуры. Сферическая поверхность радиуса а с центром в точке дается уравнением

Произведя инверсию, получим уравнение

которое после умножения на и перегруппировки членов может быть приведено к виду где

Таким образом, мы снова получаем сферу другого радиуса а и с центром в точке Если первоначальная сфера проходила через начало координат ), то в этом случае сфера преобразуется в плоскость, перпендикулярную к направлению и проходящую на расстоянии

от начала координат.

Метод конформного отображения. Поле, зависящее только от двух декартовых координат (х, у), называют плоским. Мощным средством для решения плоских задач электростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории заключаются в следующем.

Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум уравнениям: Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно Второе же уравнение показывает, что наряду с можно ввести также и «векторный потенциал» поля А согласно . В плоском случае вектор Е лежит в плоскости и зависит только от этих двух координат.

Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда компоненты напряженности выражаются в виде производных от или А согласно

Но такие соотношения между производными функций и А с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши — Римана, выражающими тот факт, что комплексное выражение

является. аналитической функцией комплексного аргумента Это значит, что функция имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от направления, в котором она берется. Так, дифференцируя в направлении оси найдем, что

или

Функция w называется комплексным потенцийлом.

Силовые линии поля определяются уравнением

Выражая через производные от А, перепишем это уравнение в виде

откуда (х, у) = const. Таким образом, линии постоянных значений мнимой части функции представляют собой силовые линии поля. Линии же постоянных значений ее вещественной части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная ортогональность этих двух семейств линий обеспечивается уже исходными соотношениями (3,14), согласно которым

Как вещественная, так и мнимая части аналитической функции в равной степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому с тем же успехом можно принять в качестве потенциала поля. Соответственно силовые линии будут тогда даваться уравнениями . Вместо (3,15) будем при этом иметь

Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом

где есть элемент эквипотенциальной линии, а — направление нормали к ней. Согласно соотношениям (3,14) имеем причем выбор знака предполагает, что если смотреть в направлении , то положительное направление — влево. Поэтому

где — значения А на обоих концах отрезка. В частности, поток электрического поля через замкнутый контур равен где — полный заряд, охватываемый этим контуром (отнесенный к единице длины проводников вдоль оси ). Поэтому

где — изменение А при обходе замкнутой эквипотенциальной линии в направлении против часовой стрелки.

Простейшим примером комплексного потенциала является потенциал поля заряженной прямой нити (совпадающей с осью ). Напряженность этого поля дается формулами

где - полярные координаты в плоскости , а — заряд единицы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал

Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку то комплексный потенциал

где

С математической точки зрения функциональное соотношение осуществляет конформное отображение плоскости комплексного переменного z на плоскость комплексного переменного w. Пусть С есть контур сечения проводника в плоскости — потенциал этого проводника. Из всего сказанного выше ясно, что задача об определении поля, создаваемого этим проводником, сводится к нахождению такой функции , которая отображала бы контур С в плоскости на линию параллельную оси ординат в плоскости тогда вещественная часть даст потенциал рассматриваемого поля (если же функция ) отображает контур С на линию, параллельную оси абсцисс, то потенциал дается функцией

Задача о клине. Приведем здесь для справок формулы, определяющие поле, создаваемое точечным зарядом , расположенным в пространстве между двумя пересекающимися проводящими полуплоскостями. Пусть ось цилиндрической системы координат совпадает с линией края угла, причем угол отсчитывается от одной из его сторон; заряд пусть находится в точке (рис. 2). Угол раствора а между плоскостями может быть как меньше, так и больше в последнем случае мы имеем дело с зарядом, расположенным вне проводящего клина.

Рис. 2.

Потенциал поля дается формулой

на поверхности проводника, т. е. при , потенциал (Н. М. Macdonald, 1895).

В частности, при получается проводящая полуплоскость в поле точечного заряда. В этом случае интеграл (3,20) вычисляется в конечном виде и дает

В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке нахождения заряда , потенциал (3,21) принимает вид

Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающийся в бесконечность при — изменение потенциала в точке нахождения заряда под влиянием проводника.

Энергия взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть