§ 89. Принцип взаимности

Излучение монохроматических электромагнитных волн от источника, представляющего собой тонкий провод, расположенный в произвольной среде, описывается уравнениями

где — плотность протекающих по проводу «сторонних» (по отношению к среде) периодических токов.

Пусть в среде расположены два различных источника (одинаковой частоты); будем отмечать индексами 1 и 2 поля, создаваемые каждым из этих источников в отдельности. Среда может быть произвольным образом неоднородна и анизотропна. Единственное, предполагается ниже о ее свойствах, это — линейные соотношения с симметричными тензорами . В этих условиях оказывается возможным получить определенное соотношение, связывающее между собой поля обоих источников и сторонние токи в них.

Умножим оба уравнения

соответственно на , а такие же уравнения для поля на . Сложив почленно все эти уравнения, получим:

Но так что два первых члена в правой стороне равенства обращаются в нуль. Левая же сторона преобразуется по известной формуле векторного анализа, и мы находим

Проинтегрируем это равенство по всему пространству; интеграл в левой стороне равенства преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и исчезает. Поэтому получим

Интегралы в левой и правой сторонах берутся соответственно лишь по объемам первого и второго источников, так как только в них отличны от нуля токи Ввиду тонкости проводов влиянием каждого из них на поле другого провода можно пренебречь, и, таким образом, в формуле (89,2) представляют собой поля излучений первого и второго источников, создаваемые каждым из них в месте нахождения другого источника, как если бы последнего не было. Формула (89,2) и является искомым соотношением, известным под названием теоремы взаимности.

Если размеры источников малы по сравнению с длиной волны, а также по сравнению с их взаимным расстоянием, то выражение теоремы взаимности можно упростить. Поле каждого источника слабо меняется на протяжении размеров другого источника, и в (89,2) можно вынести из-под знаков интеграла, написав их просто как , где 1 и 2 обозначают точки нахождения обоих источников:

Интеграл есть не что иное, как производная повремени от полного дипольного момента источника

Поскольку , то окончательно имеем

Такая форма теоремы взаимности применима, разумеется, лишь к дипольному излучению. Если же дипольный момент источника равен нулю (или аномально мал), то приближение, сделанное при переходе от общей формулы (89,2) к (89,3), недостаточно (см. задачу 1 к этому параграфу).