ГЛАВА IV. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 29. Постоянное магнитное поле

Постоянное магнитное поле в материальных средах описывается двумя уравнениями Максвелла, которые получаются путем усреднения микроскопических уравнений

Среднюю напряженность магнитного поля принято называть магнитной индукцией и обозначать посредством

Поэтому результат усреднения первого из уравнений (29,1) напишется как

Во втором же уравнении производная по времени при усреднении исчезает, поскольку среднее поле предполагается постоянным, так что имеем

Среднее значение микроскопической плотности тока, вообще говоря, отлично от нуля как в проводниках, так и в диэлектриках. Разница между этими двумя категориями тел заключается лишь в том, что в диэлектриках всегда

где интеграл берется по полной площади любого поперечного сечения тела; в проводниках же этот интеграл может быть отличным от нуля. Предположим сначала, что в теле (если оно является проводником) отсутствует полный ток, т. е. справедливо соотношение (29,5).

Равенство нулю интеграла (29,5) по любому сечению тела означает, что вектор может быть написан в виде ротора некоторого другого вектора, который принято обозначать как :

причем величина М отлична от нуля только внутри тела (ср. аналогичные рассуждения в § 6).

Действительно, интегрируя по поверхности, ограниченной контуром, охватывающим тело и проходящим везде вне его, получим

Вектор М называют намагниченностью тела. Вводя его в уравнение (29,4), получим

где вектор Н связан с магнитной индукцией В соотношением

аналогичным соотношению между электрической индукцией D и напряженностью Е. Хотя вектор Н, по аналогии с Е, называют обычно напряженностью магнитного поля, следует помнить, что в действительности истинное среднее значение напряженности есть В, а не Н.

Для выяснения физического смысла величины М рассмотрим полный магнитный момент, создаваемый всеми движущимися внутри тела заряженными частицами. По определению магнитного момента (см. II § 44), это есть интеграл

Поскольку вне тела , то интеграл можно брать по любому объему, выходящему за пределы тела. Преобразуем интеграл следующим образом:

Интеграл по поверхности, проходящей вне тела, обращается в нуль. Во втором же члене имеем

Таким образом, получаем в результате

Мы видим, что вектор намагниченности представляет собой магнитный момент единицы объема тела.

К уравнениям (29,3) и (29,7) должно быть присоединено соотношение, связывающее между собой величины Н и В; лишь после этого система уравнений станет полной. В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях, В и Н связаны друг с другом линейным соотношением. У изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности

(29,10)

Коэффициент называется магнитной проницаемостью, а коэффициент пропорциональности

(29.11)

в соотношении -магнитной восприимчивостью.

В противоположность диэлектрической проницаемости , которая у всех тел превышает 1, магнитная проницаемость может быть как больше, так и меньше единицы. Можно только утверждать, что всегда (о причине этого отличия между и s см. § 32; доказательство неравенства будет дано в § 31). Соответственно магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной.

Другое отличие — количественное — состоит в том, что магнитная восприимчивость огромного большинства тел очень мала по сравнению с их диэлектрической восприимчивостью. Это отличие связано с тем, что намагничение вещества (не ферромагнитного) является релятивистским эффектом второго порядка по (-электронные скорости в атомах).

В анизотропных телах, кристаллах, простая пропорциональность (29,10) заменяется линейными соотношениями

(29,12)

Тензор магнитной проницаемости симметричен. Это следует из термодинамических соотношений, которые будут выведены в § 31, точно так же, как в § 13 была доказана симметричность тензора

Из уравнений следует (ср. § 6), что на границе двух различных сред должны выполняться условия

(29,13)

Эта система уравнений и граничных условий к ним формально совпадает с системой уравнений, определяющих электростатическое поле в диэлектриках в отсутствие свободных зарядов, отличаясь от них лищь заменой Е и D соответственно на Н и В. Ввиду уравнения можно искать Н в виде , и для потенциала получаются те же уравнения, что и для электростатического потенциала.

Решения ряда задач, рассмотренных в гл. II для электростатического поля, непосредственно переносятся, таким образом, на постоянное магнитное поле. В частности, полученные в § 8 формулы для диэлектрического эллипсоида в однородном электрическом поле полностью справедливы (с соответствующим изменением обозначений) и для магнитного эллипсоида в однородном магнитном поле. Так, напряженность и индукция магнитного поля внутри эллипсоида связаны с напряженностью внешнего поля соотношением

(29,14)

где - тензор коэффициентов размагничивания. Напомним, что это соотношение справедливо при любой связи между В и Н.

Тангенциальные компоненты магнитной индукции, в противоположность ее нормальной компоненте, испытывают скачок на поверхности раздела двух сред. Величину этого скачка можно связать с плотностью токов, протекающих по поверхности. Для этого проинтегрируем обе стороны уравнения (29,4) по малому отрезку пересекающему поверхность раздела в направлении нормали. Длину устремляем затем к нулю; интеграл может стремиться, однако, при этом к конечной величине. Определенную таким образом величину

(29,15)

можно назвать поверхностной плотностью тока; она определяет заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины линии, проведенной на поверхности. Выберем направление g в данной точке поверхности в качестве оси у, а направление нормали в качестве оси направленной от среды 1 к среде 2. Тогда интегрирование уравнения (29,4) дает

Ввиду непрерывности производная ограничена, и потому интеграл от нее стремится к нулю при стремлении к нулю длины отрезка Интеграл же от дает разность значений на обеих сторонах поверхности. Таким образом,

Это равенство можно написать в векторном виде как

(29,16)

где - единичный вектор нормали, направленной внутрь среды 2; при последнем преобразовании учтена непрерывность тангенциальной компоненты Н.