Задачи

1. Определить поверхностное натяжение доменной стенки в кубическом ферромагнетике с осями легкого намагничения вдоль ребер куба (оси ). Домены намагничены параллельно и антипараллельно оси , а доменная стенка расположена а) параллельно плоскости (100); б) параллельно плоскости (110) (Е. М. Лифшиц, 19-14; L. Neel, 1914).

Решение, а) Доменная стенка параллельна плоскости все величины в ней зависят только от координаты а поворот вектора М происходит в плоскости (к аргументации, приведенной в тексте параграфа для одноосных кристаллов, добавляется еще и то, что отклонение М из плоскости привело бы в данном случае к увеличению энергии анизотропии). Пренебрегая энергией магнитострикции и воспользовавшись для энергии неоднородности формулой (43,2) и формулой (40,7) для энергич анизотропии (обозначив в ней ), найдем свободную энергию стенки в виде

( — угол между М и осью ).

Первый интеграл уравнения Эйлера задачи о минимизации этого функционала, удовлетворяющий граничным условиям (43,5):

или

(написав мы обеспечиваем монотонное изменение угла в переходном слое). Это уравнение не имеет решения, которое могло бы описывать структуру доменной стенки конечной толщины (для этого необходим учет энергии магнитострикции — см. задачу 2), но оно достаточно для вычисления поверхностного натяжения, оказывающегося конечным уже при сделанных пренебрежениях:

б) Доменная стенка проходит через ось под углом 45° к осям х и у. Необходимость избежать появления значительного магнитного поля по-прежнему стремится удержать вектор М в плоскости стенки. Но магнитная анизотропия в этом случае несколько выводит М из указанной плоскости. Тем не менее, ввиду предполагаемой малости энергии анизотропии в кубическом кристалле, это отклонение будет малым и им можно, с достаточной точностью, пренебречь. Тогда

( — снова угол между М и осью ) и энергия анизотропии:

Выпишем сразу первый интеграл уравнения Эйлера вариационной задачи:

где , а штрих означает дифференцирование по координате, нормальной плоскости стенки (обозначим ее ). Отсюда, снова с учетом условий (43,5), находим уравнение структуры стенки

т. е.

Для поверхностного натяжения находим

т. е. при указанных значениях А и В:

2. Найти структуру доменной стенки в плоскости (100), поверхностное натяжение которой вычислено в задаче 1а (Е. М. Лифшиц, 1944).

Решение. Как уже было упомянуто, конечное значение ширины данной стенки получается только при учете энергии магнитострикции.

Структура стенки определяется условием мииимальности свободной энергии , плотность которой F должна быть выражена через (ср. примечание на стр. 214). Соответствующие выоажения магнитоупругой и упругой энергий имеют вид, аналогичный (42,2-3) (с другими коэффициентами):

(здесь уже положено ).

Вместе с распределением намагниченности может зависеть только от также и деформация в переходном слое. Отсюда следует, что - компоненты вектора смещения и должны иметь вид ; если бы вместо стояли функции , то оказались бы зависящими от у или г. Таким образом, — постоянные. Далее, из общих уравнений упругого равновесия следует, что поскольку при , где деформация отсутствует, должно быть то везде. Вычислив эти компоненты тензора напряжений как производные найдем, что . Таким образом, все действительно постоянны. Поэтому достаточно вычислить их значения на бесконечности, где все а Из равенств найдем

Опустив в постоянные члены, найдем, что к сумме неодн надо добавить еще член

В результате определение зависимости сведется к решению уравнения вида (1), в котором теперь

Константа В, характеризующая отношение энергии магнитострикции к энергии анизотропии, мала. Положив в получим уже известное из задачи 1а значение Из (2) находим для распределения намагннченности в стенке

Ширина этого распределения

существенно зависит от константы магнитострикции.

3. В таком же кристалле найти поверхностное натяжение доменной стенки, разделяющей домены, намагниченные в направлениях [001] и [010] (оси ) в случаях: а) стенка параллельна плоскости (100), б) стенка параллельна плоскости (011) (С. В. Вонсовский, 1944; L. Neel, 1944).

Решение. В обоих случаях магнитоупругой энергией можно пренебречь,

а) В этом случае вектор М поворачивается, оставаясь в плоскости стенки плоскость . Отличие от задачи 1а состоит лишь в граничных условиях:

Структура стенки описывается решением

а поверхностное натяжение составляет

— половину значения для 180-градусной стенки.

Рис. 22.

б) Наряду с кристаллографическими осями вводим оси , как показано на рис. 22 (ось х перпендикулярна плоскости рисунка; стрелки показывают направления М в доменах, разделенных плоскостью ). В переходном слое вектор М вращается, описывая половину кругового конуса с осью вдоль оси ); при этом так что как и должно быть (штрих — дифференцирование по ). Обозначим через угол между проекцией М на плоскость и осью пробегает значения от 0 до ). Тогда

Энергии неоднородности и анизотропии:

Для поверхностного натяжения находим:

4. Найти поверхностное натяжение доменной стенки в одноосном кристалле, если переход между доменами осуществляется путем изменения величины вектора М без его поворота направление М меняется на противоположное при прохождении М через нуль. Зависимость свободной энергии от М (при берется в виде разложения (39,3), отвечающего близости к точке Кюри (В. А. Жирнов, 1958).

Решение. Во всем переходном слое равно М и меняется вдоль оси перпендикулярной плоскости стенки. Плотность свободной энергии с учетом энергии неоднородности:

Равновесное значение намагниченности в толще доменов обозначим здесь как (см. (39,5)). Введя вектор , напишем свободную энергию стенки в виде

(аддитивная постоянная в F выбрана так, чтобы F обращалось в нуль в глубине доменов). Минимизация этого интеграла должна производиться при граничных условиях

Первый интеграл уравнения Эйлера этой вариационной задачи:

Отсюда находим:

а вычисление интеграла дает для поверхностного натяжения значение

Рассмотренная структура стенки может, в принципе, иметь место в достаточной близости к точке Кюри (если отношение стремится при к бесконечности), где изменение величины вектора М становится энергетически более выгодным, чем ею отклонение от направления легкого намагничения.