Задачи

1. Выразить взаимную емкость С системы из двух проводников (с зарядами ) через коэффициенты

Решение. Взаимная емкость двух проводников определяется как коэффициент в соотношении а энергия системы выражается через С посредством Сравнив с (2,9), получим

2. Точечный заряд расположен в точке О вблизи системы заземленных проводников и индуцирует на них заряды . Если бы заряд отсутствовал, а один из проводников (а-й) имел потенциал (остальные по-прежнему заземлены), то потенциал поля в точке О был бы Выразить заряды через

Решение. Если заряды на проводниках сообщают им потенциалы а заряды — потенциалы то из (2,3) следует, что

Применим это соотношение к двум состояниям системы, составленной из всех проводников и точечного заряда (рассматривая последний как предельный случай проводника малою размера). В одном состоянии имеется заряд , проводники имеют заряды и потенциалы . В другом состоянии заряд , а один из проводников имеет потенциал . Тогда получим откуда

Так, если заряд находится на расстоянии от центра заземленного проводящего шара радиуса а то и заряд, индуцированный на шаре,

В качестве другого примера рассмотрим заряд , находящийся между двумя заземленными концентрическими сферами радиусов а и на расстоянии от центра ). Если наружная сфера заземлена, а внутренняя заряжена до потенциала то потенциал на расстоянии равен

Поэтому заряд, индуцированный на внутренней сфере зарядом , равен

Аналогично, заряд, индуцированный на внешней сфере,

3. Два проводника с емкостями помещены на расстоянии друг от друга, большом по сравнению с их собственными размерами. Определить коэффициенты

Решение. Если проводник несет заряд , а проводник 2 не заряжен, то в первом приближении при этом мы пренебрегаем изменением поля вдоль проводника 2 и его поляризацией. Таким образом, и, аналогично, Отсюда находим для коэффициентов

4. Определить емкость С кольца из тонкого провода кругового сечения (радиус кольца b, радиус сечения провода ).

Решение. Ввиду тонкости кольца поле вблизи его поверхности совпадает с полем, которое создавалось бы тем же зарядом, распределенным по осевой линии кольца (это было бы точным для прямого цилиндра).

Поэтому потенциал самого кольца

где — расстояние от данной точки поверхности кольца до элемента его осевой линии, по которой производится интегрирование. Разобьем интеграл на две части по областям , где А — некоторое расстояние, такое, что . Тогда при можно считать участок кольца прямым и потому

В области же можно пренебречь толщиной провода, т. е. считать просто расстоянием между двумя точками осевой линии кольца. Тогда

где — центральный угол, на который опирается хорда , а нижний предел интегрирования определяется из откуда При сложении обеих частей интеграла величина А выпадает, и окончательно получаем для емкости кольца следующее выражение: