§ 97. Плоская волна в анизотропной среде

При изучении оптики анизотропных тел — кристаллов мы ограничимся наиболее важным случаем, когда среду можно считать (в данной области частот) немагнитной и прозрачной. В соответствии с этим связь между напряженностями и индукциями электрического и магнитного полей дается равенствами

причем все компоненты диэлектрического тензора вещественны, а его главные значения положительны.

Рис. 51.

Уравнения Максвелла для поля монохроматической волны гласят:

В плоской волне, распространяющейся в прозрачной среде, все величины пропорциональны с вещественным волновым вектором к. Произведя дифференцирование по координатам, получим

Отсюда прежде всего видно, что три вектора k, D и Н взаимно перпендикулярны. Кроме того, вектор Н перпендикулярен к Е. Поскольку вектор Н перпендикулярен одновременно к трем векторам D, Е, к, то последние лежат в одной плоскости. Рис. 51 иллюстрирует взаимное расположение всех векторов. По отношению к направлению волнового вектора поперечны D и Н, но не Е. На рисунке указано также направление потока энергии S в волне. Оно определяется векторным произведением [ЕН], т. е. перпендикулярно к Е и Н. В отличие от волны в изотропной среде, здесь направление потока энергии не совпадает с направлением волнового вектора.

Очевидно, что вектор S компланарен с векторами Е, D, к и составляет с вектором к угол, равный углу между Е и D.

Выделим из абсолютной величины вектора к множитель и будем писать

Абсолютная величина определенного таким образом вектора в анизотропной среде зависит от его направления, в отличие от изотропной среды, в которой зависит только от частоты. С помощью обозначения (97,4) основные формулы (97,3) напишутся в виде

Выпишем также выражение для вектора потока энергии в плоской волне:

(в этой формуле Е и Н вещественны).

До сих пор мы не использовали еще соотношения (97,1), содержащего материальные константы . Совместное использование этого соотношения и уравнений (97,5) позволяет определить зависимость ).

Подставив первую из формул (97,5) во вторую, получим

Если приравнять компоненты этого вектора выражениям согласно (97,1), мы получим три однородных линейных уравнения для трех составляющих вектора Е:

или

Условие совместности этих уравнений требует обращения в нуль определителя, составленного из их коэффициентов:

Фактическое вычисление этого определителя удобно производить, воспользовавшись в качестве декартовых осей координат главными осями тензора (называемыми в этой связи главными диэлектрическими осями). Главные значения тензора обозначим посредством .

Простое вычисление приводит к следующему уравнению:

(97,10)

Отметим, что старшие члены (шестой степени по ) при раскрытии взаимно сокращаются; это обстоятельство, разумеется, не случайно и связано в конечном счете с тем, что волна имеет всего два, а не три независимых направления поляризации.

Уравнение ( - так называемое уравнение Френеля — одно из основных уравнений кристаллооптики. Оно определяет в неявном виде закон дисперсии, т. е. зависимость между частотой и волновым вектором (функциями частоты являются главные значения ), а в некоторых случаях — см. § 99 - также и направления главных осей тензора Обычно при рассмотрении монохроматических волн частота, а с нею и все являются заданными постоянными величинами, и тогда уравнение (97,10) определяет абсолютную величину волнового вектора по его направлению. При заданном направлении (97,10) есть квадратное уравнение для с вещественными коэффициентами. Поэтому каждому направлению соответствуют в общем случае два различных абсолютных значения волнового вектора.

Уравнение (97,10) (с постоянными коэффициентами ) определяет в координатах некоторую поверхность — поверхность волновых векторов. В общем случае это есть поверхность четвертого порядка; ее подробное исследование будет произведено в следующих параграфах. Здесь же мы укажем лишь некоторые ее важные общие свойства.

Предварительно введем еще одну величину, характеризующую свет, распространяющийся в анизотропной среде. Направление световых лучей (в геометрической оптике) определяется вектором групповой скорости . В изотропной среде его направление всегда совпадает с направлением волнового вектора; в анизотропной же среде это, вообще говоря, не так. Для характеристики лучей введем вектор s, по направлению совпадающий с групповой скоростью, а по абсолютной величине определяющийся равенством

(97,11)

Будем называть s лучевым вектором. Смысл этой величины выясняется следующим образом.

Рассмотрим пучок лучей (с одинаковой частотой), распространяющихся во все стороны из некоторого центра. Значение эйконала (совпадающего с точностью до множителя с фазой волны; см. § 85) в каждой точке луча дается интегралом взятым вдоль луча. Введя вектор s, определяющий направление луча, напишем

(97,12)

В однородной среде s постоянно вдоль луча, так что где - длина данного отрезка луча. Отсюда видно, что если вдоль каждого радиуса, выходящего из центра пучка лучей, отложить отрезок, равный (или пропорциональный) s, то мы получим поверхность, во всех точках которой лучи имеют одинаковую фазу. Эту поверхность называют лучевой.

Введенные таким образом поверхность волновых векторов и лучевая поверхность находятся в определенном взаимном отношении друг с другом. Напишем уравнение поверхности волновых векторов условно в виде Тогда групповая скорость

т. е. пропорциональна вектору или, что то же (поскольку производная берется при постоянном ), — вектору . Ему же, следовательно, пропорционален лучевой вектор. Но вектор направлен по нормали к поверхности f = 0.

Таким образом, мы приходим к результату, что направление лучевого вектора волны с заданным значением определяется нормалью к соответствующей точке поверхности волновых векторов.

Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: нормали к лучевой поверхности определяют направления соответствующих волновых векторов. Действительно, перпендикулярность s к поверхности волновых векторов выражается соотношением

где - любое бесконечно малое изменение (при заданном ), т. е. вектор бесконечно малого смещения на поверхности. Но, дифференцируя (тоже при заданном ) равенство , получим , откуда видно, что и

чем и доказывается сделанное утверждение.

Описанная связь между поверхностями пив может быть еще уточнена.

Пусть есть радиус-вектор какой-либо точки поверхности волновых векторов, a - соответствующий ей лучевой вектор; напишем уравнение (в координатах ) касательной в этой точке плоскости. Это есть

чем выражается перпендикулярность к любому вектору лежащему в данной плоскости. Поскольку связаны соотношением , то это уравнение можно записать в виде

(97,14)

Отсюда видно, что есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, касательную к поверхности волновых векторов в точке .

Обратно: если к некоторой точке лучевой поверхности построена касательная плоскость, то длина перпендикуляра, опущенного (из начала координат) на эту плоскость, равна .

Выясним расположение лучевого вектора по отношению к векторам напряженности поля в волне. Для этого замечаем, что направление групповой скорости совпадает с направлением среднего (по времени) вектора потока энергии. Действительно, рассмотрим волновой пакет, заключенный в малом участке пространства. При перемещении пакета сосредоточенная в нем энергия перемещается вместе с ним, а это и значит, что направление ее потока совпадает с направлением скорости пакета, т. е. групповой скорости. Совпадение направлений групповой скорости и вектора Пойнтинга можно доказать также и непосредственно из формул (97,5). Дифференцируя эти формулы (при заданном ), получим

(97,15)

Умножим первое равенство скалярно на Е, а второе на Н; с учетом (97,5) имеем

Но ; поэтому, складывая оба равенства, получим

(97,16)

т. е. вектор [ЕН] нормален поверхности волновых векторов, что и требовалось доказать.

Поскольку вектор Пойнтинга перпендикулярен Н и Е, то мы заключаем теперь, что то же самое относится и к вектору s:

(97,17)

Непосредственное вычисление с помощью формул (97,5), (97,11) и (97,17) приводит к соотношениям

(97,18)

Так,

Если сравнить формулы (97,18) с формулами (97,5), то мы увидим, что они получаются друг из друга заменой

(97,19)

(причем не нарушается, разумеется, и соотношение ). Последняя из этих трех замен должна быть введена для того, чтобы не нарушалась также и связь (97,1) между D и Е. Таким образом, можно высказать следующее правило, полезное при различных вычислениях: если имеется какое-либо уравнение, справедливое для одного ряда перечисленных величин, то замена (97,19) приводит к правильному аналогичному уравнению для другого ряда величин.

В частности, применив это правило к уравнению (97,10), сразу же получим аналогичное уравнение для вектора

Этим уравнением определяется форма лучевой поверхности. Как и поверхность волновых векторов, это есть поверхность четвертого порядка. При заданном направлении s (97,20) дает квадратное уравнение для имеющее в общем случае два различных вещественных корня. Таким образом, вдоль каждого направления в кристалле могут распространяться два луча с различными волновыми векторами.

Перейдем к вопросу о характере поляризации волн, распространяющихся в анизотропной среде. Уравнения (97,8), из которых было получено уравнение Френеля, для этой цели неудобны, так как в них входит напряженность Е, в то время как поперечной в волне (по отношению к заданному ) является индукция D. Для того чтобы с самого начала учесть поперечность вектора D, выберем временно новую систему координат, одна из осей которой направлена вдоль волнового вектора волны. Две же поперечные оси будем отмечать греческими индексами, пробегающими значения 1, 2. Поперечные составляющие равенства (97,7) дают подставив сюда — компонента тензора, обратного тензору получим

(97,21)

Условие совместности этих двух уравнений с двумя неизвестными заключается в равенстве нулю их определителя:

(97,22)

Это условие совпадает, разумеется, с написанным в исходной системе координат х, у, z уравнением Френеля. Мы видим теперь, однако, что соответствующие двум значениям векторы D направлены вдоль главных осей двумерного симметричного тензора второго ранга е. Согласно общим теоремам отсюда следует, что эти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, в двух волнах с одинаковым направлением волнового вектора векторы электрической индукции линейно поляризованы в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Рис. 52.

Уравнения (97,21) допускают простую геометрическую интерпретацию. Построим в системе координат х, у, z (снова возвращаемся к главным диэлектрическим осям) тензорный эллипсоид, соответствующий тензору , т. е. поверхность

(97,23)

(рис. 52). Пересечем эллипсоид плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной к заданному направлению . Фигурой сечения будет в общем случае эллипс; длины его главных осей определяют значения , а их направления — соответствующие направления колебаний (векторы ).

Из этого построения (в общем случае различных ), очевидно, что если волновой вектор направлен, скажем, вдоль оси х, то направлениями поляризации D будут оси у и . Если же вектор лежит в одной из координатных плоскостей, например в плоскости ху, то одно из направлений поляризации лежит тоже в плоскости ху, а другое — перпендикулярно к ней.

Аналогичными свойствами обладают поляризации двух волн с одинаковым направлением лучевого вектора. Вместо направлений индукции D здесь надо рассматривать направления поперечного к s вектора Е, причем вместо уравнений (97,21) будем иметь аналогичные уравнения

(97,24)

Геометрическое построение осуществляется в этом случае с помощью тензорного эллипсоида

(97,25)

соответствующего прямому тензору (эллипсоид Френеля).

Следует подчеркнуть тот факт, что распространяющиеся в анизотропной среде плоские волны оказываются линейно поляризованными в определенных плоскостях.

В этом отношении оптические свойства анизотропных сред существенно отличаются от свойств изотропных сред. Распространяющаяся в изотропной среде плоская волна в общем случае поляризована эллиптически, и лишь в частных случаях эллиптическая поляризация сводится к линейной. Это существенное отличие связано с тем, что случай полной изотропии среды является в известном смысле вырожденным: двум направлениям поляризации соответствует здесь один и тот же волновой вектор, вместо двух различных (с одинаковым направлением) в общем случае анизотропной среды; распространяясь с одним и тем же значением , две линейно поляризованные волны складываются в эллиптически поляризованную.

Задача

Выразить компоненты лучевого вектора s через компоненты в главных диэлектрических осях.

Решение. Продифференцировав левую сторону уравнения по ; и определив затем коэффициент пропорциональности между из условия получим следующие формулы для связи между векторами s и :

и аналогично — для