§ 60. Скин-эффект

Рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток. На основании полученных в предыдущем параграфе результатов мы заранее можем ожидать, что при увеличении частоты ток будет в основном концентрироваться вблизи поверхности проводника. Это явление называют скин-эффектом.

Точное решение задачи о скин-эффекте зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т. е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть, однако, важный случай, когда распределение тока можно считать не зависящим от способа его возбуждения. Это — ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной.

При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода последний можно считать прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а магнитный вектор Н лежит в плоскости, перпендикулярной к оси.

Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля вне провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода (в каждый данный момент времени). Но при таком граничном условии уравнения в пространстве вне провода имеют решением лишь во всем пространстве.

По аналогичным причинам и магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока. Внутри провода электрическое поле удовлетворяет уравнению

совпадающему с уравнением (58,6) для Н (оно получается путем исключения Н из уравнений (58,1) и (58,4) так же, как уравнение (58,6) было получено путем исключения Е). В цилиндрической системе координат с осью z вдоль оси провода поле Е имеет лишь - компоненту и зависит только от координаты ; для периодического поля с частотой со получаем уравнение

где есть введенная в предыдущем параграфе глубина проникновения (59,4). Решение этого уравнения, остающееся конечным при есть

( - функция Бесселя). По такому же закону распределена плотность тока .

Магнитное же поле находим по электрическому согласно уравнению (58,1):

Имея в виду, что получим

(60,4)

с той же , что и в (60,2). Эту постоянную легко определить из условия, что на поверхности провода должно быть , где а — его радиус, а полный ток, протекающий по проводу.

В предельном случае малых частот на всем протяжении сечения провода можно ограничиться первыми членами разложения функции Бесселя:

Амплитуда нею и амплитуда плотности тока, возрастает при удалении от оси пропорционально

В обратном предельном случае больших частот на большей части сечения провода можно воспользоваться известной асимптотической формулой

применимой при больших значениях аргумента функции Бесселя.

Сохраняя лишь наиболее быстро меняющийся экспоненциальный множитель, получим

Эти формулы, естественно, совпадают с формулами (59,3 — 5), которые при сильном скин-эффекте применимы вблизи поверхности проводника любой формы.

В общем случае провода с некруговым сечением точный расчет скин-эффекта представляет значительно более сложную задачу, так как требует одновременного определения поля как внутри, так и снаружи провода. Лишь в предельном случае сильного скин-эффекта задача снова упрощается, поскольку поле вне провода может быть заранее определено как статиче ское поле вокруг сверхпроводника той же формы.