§ 77. Дисперсия диэлектрической проницаемости

Мы переходим теперь к изучению важнейшего вопроса о быстропеременных электромагнитных полях, частоты которых не ограничены условием малости по сравнению с частотами, характерными для установления электрической и магнитной поляризации вещества.

Переменное во времени электромагнитное поле необходимо является переменным также и в пространстве. При частоте пространственная периодичность определяется длиной волны, порядок величины которой . При дальнейшем увеличении частоты к становится в конце концов сравнимой с атомными размерами а. В таких условиях становится невозможным макроскопическое описание поля.

В связи с этим может возникнуть вопрос о том, существует ли вообще область значений частот, в которой, с одной стороны, уже существенны дисперсионные явления, а с другой стороны, еще допустимо макроскопическое рассмотрение. Легко видеть, что такая область непременно должна существовать. Наиболее быстрый механизм установления электрической или магнитной поляризации в веществе — электронный. Его время релаксации — порядка величин атомных времен , где а — атомные размеры, a - электронные скорости в атоме. Но поскольку , то даже соответствующая таким временам длина волны к все еще велика по сравнению с а. Ниже мы предполагаем условие выполненным. Следует, однако, иметь в виду, что это условие может оказаться недостаточным: у металлов при низких температурах существует область частот, в которой макроскопическая теория неприменима, несмотря на выполнение неравенства (см. § 87).

Излагаемая ниже формальная теория в равной степени относится как к металлам, так и к диэлектрикам. При частотах же, соответствующих внутриатомным электронным движениям (оптические частоты) и более высоких, фактически исчезает даже количественное отличие в свойствах металлов и диэлектриков.

Уже из приведенных в § 75 рассуждений ясно, что формальный вид уравнений Максвелла

остается таким же в произвольных переменных электромагнитных полях. Но эти уравнения в значительной стенени беспредметны до тех пор, пока не установлена связь между входящими в них величинами D, В и Е, Н. При рассматриваемых нами теперь больших частотах эта связь не имеет ничего общего с той, которая справедлива в статическом случае и которой мы пользовались в переменных полях при отсутствии дисперсии.

Прежде всего нарушается даже имевшееся ранее основное свойство этой связи — однозначная зависимость D и В от значений Е и Н в тот же момент времени. В общем случае произвольного переменного поля значения D и В в некоторый момент времени отнюдь не определяются одними только значениями Е и Н в тот же момент времени. Напротив, можно утверждать, что значения D и В в данный момент времени зависят, вообще говоря, от значений функций во все предыдущие моменты времени.

Это обстоятельство является выражением того, что установление электрической или магнитной поляризации вещества не успевает следовать за изменением электромагнитного поля. (При этом частоты, при которых возникают дисперсионные явления в электрических и магнитных свойствах вещества, могут быть совершенно различными.)

В этом параграфе мы будем говорить о зависимости D от Е; специфические же особенности дисперсии магнитных свойств вещества будут обсуждены в § 79.

В § 6 вектор поляризации Р был введен согласно определению , где — истинная (микроскопическая) плотность зарядов в веществе. Это равенство выражало собой электрическую нейтральность тела в целом, и его (вместе с условием вне тела) было достаточно для того, чтобы показать, что полный электрический момент тела равен интегралу РЛ. Очевидно, что этот вывод относится к переменным полям в той же степени, как и к постоянным. Таким образом, в любом переменном поле, в том числе при наличии дисперсии, вектор сохраняет свой физический смысл электрического момента единицы объема вещества.

В быстропеременных полях обычно приходится иметь дело со сравнительно малыми напряженностями, тогда связь D с Е можно считать линейной. Наиболее общий вид линейной зависимости между и значениями функции во все предыдущие моменты времени может быть написан в виде интегрального соотношения

(выделение члена ) удобно по причинам, которые выяснятся в дальнейшем). Здесь - функция времени, зависящая от свойств среды. По аналогии с электростатической формулой будем писать соотношение (77,3) в символической форме

где — линейный интегральный оператор, действие которого определяется согласно (77,3).

Всякое переменное поле может быть сведено (путем разложения Фурье) к совокупности монохроматических компонент, в которых зависимость всех величин от времени дается множителем . Для таких полей связь (77,3) между D и Е приобретает вид

где функция определяется как

Таким образом, для периодических полей может быть введено понятие о диэлектрической проницаемости как о коэффициенте пропорциональности между D и Е, причем, однако, этот коэффициент зависит не только от свойств среды, но и от частоты поля. О зависимости от частоты говорят как о законе ее дисперсии.

Функция , вообще говоря, комплексна. Будем обозначать ее вещественную и мнимую части как

Из определения (77,5) непосредственно видно, что

Отделяя в этом соотношении вещественную и мнимую части, получим

Таким образом, является четной, а — нечетной функцией частоты.

При малых (по сравнению с границей начала дисперсии) частотах функцию можно разложить в ряд по степеням со. Разложение четной функции содержит члены лишь четных степеней, а разложение нечетной функции — члены нечетных степеней. В пределе функция в диэлектриках стремится, разумеется, к электростатической диэлектрической проницаемости (которую обозначим здесь как ). Поэтому в диэлектриках разложение начинается с постоянного члена разложение же начинается, вообще говоря, с члена, пропорционального .

Функцию при малых частотах можно рассматривать и в металлах, если условиться определять ее так, чтобы в пределе уравнение

переходило бы в уравнение

для постоянного поля в проводниках.

Сравнив оба уравнения, мы видим, что при производная должна переходить в Но в периодическом поле и мы приходим к следующему предельному выражению для при малых частотах:

Таким образом, в проводниках разложение функции начинается с мнимого члена, пропорционального , который выражается через обычную проводимость о по отношению к постоянным токам. Следующий член разложения является вещественной постоянной. Эта постоянная, однако, не имеет у металлов того электростатического смысла, которым она обладает у диэлектриков 2). Кроме того, надо снова указать, что этот член разложения может оказаться не имеющим никакого вообще смысла, если эффекты пространственной неоднородности поля электромагнитной волны появляются раньше, чем эффекты его временной периодичности.