Задачи

1. Определить скалярный потенциал магнитного поля замкнутого линейного тока.

Решение. Преобразуя интеграл по контуру в интеграл по охватываемой им поверхности, получим

(при преобразованиях надо учесть, что ). Сравнивая с , найдем, что скалярный потенциал

Стоящий здесь интеграл представляет собой, геометрически, телесный угол Q, под которым виден контур из точки наблюдения поля. Упомянутая в тексте многозначность потенциала проявляется в том, что, когда точка наблюдения описывает замкнутый путь, охватывающий провод, угол достигнув значения меняет знак, становясь равным - .

2. Определить магнитное поле линейного кругового тока (радиуса а). Решение. Выбираем начало цилиндрической системы координат в центре окружности, причем угол отсчитывается от плоскости, проходящей через ось и точку наблюдения поля. Векторный потенциал имеет только компоненту , и согласно формуле (30,14) пишем

Вводя новую переменную 0 согласно можно привести это выражение к виду

где

а К и Е — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:

Для компонент индукции находим:

Мы воспользовались здесь легко проверяемыми формулами

На оси

что можно получить и непосредственным элементарным расчетом.

3. Определить магнитное поле в цилиндрическом отверстии в цилиндрическом (бесконечно длинном) проводнике, вдоль которого течет ток, равномерно распределенный по его сечению (рис. 18).

Решение. Если бы отверстия не было, поле внутри цилиндра было бы равно

(обозначения размеров и осей координат даны на рисунке).

Если бы по внутреннему цилиндру протекал ток с плотностью - , он создавал бы в той же точке наблюдения поле

Искомое поле в отверстии получается наложением этих двух полей. Заметив, что , найдем

т. е. однородное поле в направлении оси у.

4. Вывести формулу (30,16) для векторного потенциала поля вдали от токов из формулы (30,12).

Решение. Пишем , где — радиус-векторы из начала координат, расположенного где-либо в области токов, до точки наблюдения и до элемента соответственно. Разлагая подынтегральное выражение по степеням и учитывая, что получим

(индекс 0 у R опускаем). Интегрируя по частям тождество

получим

Рис. 18.

Поэтому можно переписать в виде

что совпадает с (30,16).

5. Определить магнитное поле, создаваемое линейным током в магнитноанизотропной среде (А. С. Виглин, 1954).

Решение. В анизотропной среде, окружающей проводник, имеем урав нение

где — тензор магнитной проницаемости среды. Вместо того чтобы вводить векторный потенциал согласно , введем другой вектор, С, определяемый равенством

( — антисимметрический единичный тензор); выражением (2) уравнение (1) тоже удовлетворяется тождественно. На определенный таким образом вектор С можно еще наложить дополнительное условие:

Подставив (2) в уравнение , получим

(при преобразовании использовано равенство

и условие (3)). Полученное таким образом уравнение для С совпадает по форме с уравнением для потенциала электрического поля, создаваемого зарядами в анизотропной среде (задача 2 § 13). Его решение имеет вид

( — определитель тензора ; — радиус-вектор между точкой наблюдения и dV). Переходя к линейному току, получим окончательно