Задачи

1. Найти поле заряженного проводящего круглого диска (радиуса ), выразив его в цилиндрических координатах. Найти распределение заряда на диске.

Решение. Распределение заряда получается путем перехода в формуле (4,16) к пределу причем отношение в соответствии с (4,3). Это дает

Рис. 10.

Потенциал поля во всем пространстве определяется (4,19), в которой полагаем и выражаем через помощью уравнения (4,1) при

Вблизи края диска вводим вместо координаты согласно (рис. 10) и находим

в согласии с общим результатом задачи 3 § 3.

2. Определить квадрупольный электрический момент заряженного эллипсоида.

Решение. Тензор квадрупольного момента заряженного проводника определяется как — его полный заряд, а черта означает усреднение по закону

Очевидно, что оси эллипсоида являются в то же время главными осями тензора Воспользовавшись для о формулой (4,16), а для элемента поверхности эллипсоида выражением

(-единичный вектор нормали к поверхности эллипсоида), получим

(интегрирование по производится дважды по площади сечения эллипсоида плоскостью ). Таким образом,

3. Найти распределение зарядов на поверхности незаряженного проводящего эллипсоида во внешнем однородном поле.

Решение. Согласно формуле (1,9) имеем

(элемент длины вдоль направления нормали к поверхности эллипсоида есть согласно (4,5) . С помощью (4,24) и учитывая, что

получим

При произвольном направлении внешнего поля относительно осей х,y,z эллипсоида

4. То же для незаряженного круглого плоского диска (радиуса а), расположенного параллельно полю Определить дипольный момент диска.

Решение. Рассматриваем диск как предел эллипсоида вращения при стремлении полуоси с к нулю. При этом коэффициент деполяризации вдоль этой оси (ось ) стремится к 1, а вдоль осей нулю по закону

следующему из (4,34).

Компонента единичного вектора нормали к поверхности эллипсоида вращения стремится к нулю по закону

Поэтому плотность зарядов

где — полярные координаты в плоскости диска.

Дипольный момент диска определяется по формуле (4,26) и равен

Отметим, что он пропорционален а не «объему» диска .

5. Определить потенциал поля вне незаряженного проводящего эллипсоида вращения, расположенного своей осью симметрии параллельно внешнему однородному полю.

Решение. Для вытянутого эллипсоида вращения , поле в направлении оси получим, вычислив интеграл в формуле (4,24),

Координата связана с координатами посредством

причем в пространстве вне эллипсоида .

Для сплюснутого эллипсоида поле направлено вдоль оси . В связи с этим в интегралах в (4,24) надо заменить на и взять . В результате получим

причем координата связана с координатами посредством

6. То же, если ось симметрии эллипсоида перпендикулярна к внешнему полю.

Решение. Для вытянутого эллипсоида (поле в направлении оси ):

Для сплюснутого эллипсоида (поле в направлении оси ):

7. Однородное поле направленное вдоль оси (в полупространстве ограничено заземленной проводящей плоскостью с круглым отверстием. Определить поле и распределение зарядов на плоскости.

Решение. Плоскость с круглым отверстием радиуса а с центром в начале координат рассматриваем как предельный случай однополостного гиперболоида вращения

при Эти гиперболоиды представляют собой одно из семейств координатных поверхностей сплюснутой сфероидальной системы координат с Декартова координата z выражается согласно (4,9) через посредством причем корень должен быть взят со знаком или соответственно в верхнем и нижнем полупространствах.

Ищем решение в виде и для функции получаем

(постоянную интегрирования полагаем равной нулю в соответствии с условием при , т. е. при ). При этом отрицательного аргумента надо понимать как

а не как — . В противном случае потенциал испытывал бы разрыв непрерывности на плоскости отверстия Постоянный коэффициент выбираем так, чтобы при (т. е. при ) было и окончательно получаем

На проводящей поверхности и потенциал, как и следовало, обращается в нуль.

На больших расстояниях от отверстия имеем и и потенциал (в верхнем полупространстве) приобретает вид

т. е. поле дипольного типа, соответствующее дипольному моменту

Напряженность поля убывает как и потому поток поля через бесконечно удаленную поверхность (в полупространстве обращается в нуль. Это значит, что все силовые линии, проходящие через отверстие, замыкаются на верхней стороне проводящей плоскости.

Распределение зарядов на проводящей плоскости вычисляется следующим образом:

где верхние и нижние знаки относятся к верхней и нижней сторонам плоскости. Согласно формуле

связывающей , на плоскости имеем Таким образом, распределение зарядов на нижней стороне проводящей плоскости дается формулой

При имеем как и должно быть. На верхней же стороне

Полный индуцированный заряд на верхней стороне плоскости конечен и равен

8. То же, если отверстие в проводящей плоскости представляет собой прямую щель ширины 26.

Решение. Плоскость со щелью вдоль оси рассматриваем как предельный случай гиперболического цилиндра

при Эти гиперболические цилиндры представляют собой одно из семейств эллипсоидальных координатных поверхностей при Декартова координата

Как и в задаче 7, ищем решение в виде и для функции получаем

Здесь коэффициент и постоянная интегрирования определяются условиями соответственно, при (т. е. при ), и окончательно получаем

где мы теперь понимаем корень как положительную величину, а верхний и нижний знаки соответствуют областям

На больших расстояниях от щели в верхнем полупространстве имеем и потенциал

т. е. поле двумерного дипольного типа с дипольным моментом на единицу длины щели (см. формулу в задаче 2 § 3).

Распределение зарядов на проводящей плоскости дается формулой

Полный индуцированный заряд на верхней стороне плоскости (отнесенный к единице длины щели) равен

Вблизи края щели в выражении для можно положить

где - полярные координаты в плоскости , отсчитываемые от края щели . Тогда

в согласии с результатом задачи 3 § 3 для случая .