§ 111. Сильные электромагнитные волны

Возможность постановки рассмотренной в предыдущем параграфе задачи о генерации всего одной определенной гармоники была связана с наличием дисперсии. Теперь мы рассмотрим обратный случай, когда во всем существенном интервале частот дисперсию можно считать отсутствующей, так что индукция в каждой точке определяется значением в тот же момент времени. Мы будем считать среду изотропной; тогда направления D и Е совпадают. Нелинейность же в этом параграфе не предполагается малой, так что зависимость — произвольная функция.

Пренебрежение поглощением и дисперсией имеет принципиальное значение в том отношении, что после этого из уравнений поля исчезают какие-либо параметры размерности частоты (или, тем самым, размерности длины). Это обстоятельство делает возможным построение точного решения, обобщающего обычную одномерную плоскую волну линейного приближения (Л. В. Гапонов, Г. И. Фрейдман, 1959).

Пусть волна распространяется в направлении оси х, электрическое поле направлено по оси у, а магнитное по оси обозначаем просто как Е и Н). Уравнения Максвелла

принимают вид

где по определению

(111,2)

(при функция стремится к значению — обычной диэлектрической проницаемости).

Ищем решение, в котором функции могут быть выражены как функция одна другой: Тогда уравнения (111,1) можно переписать как

Для того чтобы эти два уравнения могли удовлетворяться отличными от нуля значениями неизвестных должен быть равен нулю их определитель.

Это условие дает

откуда

(111,4)

Подставив теперь из (111,4) в одно из уравнений (111,3), имеем

Отсюда следует, что

может быть произвольной функцией от Е. Обозначив обратную функцию как имеем

два знака здесь отвечают двум направлениям распространения волны. После выбора функции f формула (111,5) определяет в неявном виде зависимость . В слабых полях, когда можно положить , (111,5) переходит в обычную плоскую волну с фазовой скоростью

Рис. 60.

Отметим, что полученное решение существует только при — в соответствии с условием устойчивости (18,8).

По мере распространения волны заданный в начальный момент ее профиль искажается, поскольку разные участки бегут с различными скоростями. Обычно убывает с ростом Е (функция ) стремится к насыщению). Тогда точки профиля с большими значениями Е бегут с большими скоростями, в результате чего увеличивается крутизна переднего фронта профиля (как это иллюстрирует рис. 60, на котором показана форма профиля в несколько последовательных моментов).

В некоторый момент возникает перегиб профиля, после чего он должен был бы стать неоднозначным. В действительности в этот момент в волне возникает электромагнитная ударная волна разрыв величин . Граничные условия на разрыве имеют тот же вид (76,13), что и на любой движущейся поверхности. Для плоской поперечной волны они гласят:

где индексы 1 и 2 относятся к значениям величин соответственно впереди и позади фронта. Перемножив эти два равенства, найдем для скорости ударной волны:

В ударной волне происходит диссипация энергии. Пусть Q — скорость диссипации, отнесенная к единице площади поверхности разрыва. Для ее вычисления пишем закон сохранения энергии, примененный к цилиндрическому элементу объема среды, одно основание которого находится позади, а другое — впереди разрыва:

Слева стоит разность потоков энергии через оба основания, а справа — сумма скорости изменения внутренней энергии за счет перемещения границы между областями 1 и 2 и диссипируемой в ней энергии. Разность внутренних энергий (при неизменных плотности и температуре):

Используя также равенства (111,6-7), можно привести (111,8) к виду

Если ударная волна слабая (т. е. скачки величин в ней малы), то при вычислении Q можно представить связь D с Е в виде разложения

где . Простое вычисление приводит к результату

Таким образом, диссипация энергии в слабой электромагнитной ударной волне третьего порядка по величине скачка поля в ней. Поскольку должно быть то при будет в соответствии с рис. 60.

Появление ударной волны нарушает применимость полученного решения: выражения (111,4-5) для поля противоречат граничным условиям (111,6). Существенно, однако, что волна остается приближенно (с точностью до величин второго порядка включительно) простой, пока ударную волну можно считать слабой. С этой точностью выражение для скорости разрыва может быть представлено в виде

В этом же приближении положение разрыва на профиле волны определяется условием равенства двух площадей между вертикальной прямой и пунктиром на рис. 60.