Задачи

1. Определить собственные частоты электрических колебаний в двух индук тивно связанных контурах, содержащих самоиндукции и емкости ; сопротивлениями пренебрегаем.

Решение. Искомые частоты определяются из условия

где

Вычисление дает:

Обе частоты вещественны, что является следствием пренебрежения и . При частоты стремятся к значениям соответствующим раздельным колебаниям в каждом из контуров.

2. То же для цепи из параллельно соединеаных сопротивления R, емкости С и самоиндукции L.

Решение. Импедансы трех ветвей цепи равны

а токи в них связаны соотношениями

Отсюда находим уравнение

решение которого дает

3. Рассмотреть распространение электрических колебаний по цепи, составленной из бесконечной последовательности одинаковых ячеек, содержащих импедансы

как это показано на рис. 37. Найти область частот колебаний, которые могут распространяться вдоль цепи без затухания

Рис. 37.

Решение. Токи определим как контурные токи в каждой из ячеек цепи (рис. 37). Уравнение Кирхгофа для а-го контура гласит:

Это есть линейное разностное уравнение (по целочисленной переменной а) с постоянными коэффициентами. Ищем его решение в виде

и для параметра q получаем характеристическое уравнение

Пусть чему соответствуют значения лежащие между меньшей и большей из величин

Тогда уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня с модулями . Это значит, что при переходе от одной ячейки цепи к следующей амплитуда тока не убывает, т. е. электрические колебания распространяются по цепи без затухания. Если обозначить в этом случае (-длина одной ячейки цепи), то k играет роль «волнового вектора» распространяющихся вдоль цепи колебаний. Скорость же распространения можно вычислить по общим правилам как производную .

Если же лежит вне указанных пределов, то уравнение (1) имеет два вещественных корня и , поскольку то один из них (пусть ) по абсолютной величине меньше, а другой больше 1. Легко видеть, что это означает невозможность незатухающего распространения колебаний вдоль цепи. Для уяснения причины этого рассмотрим цепь большой, но конечной длины. Начальный колебательный импульс вносится в начале цепи, а на конце цепь тем или иным способом замкнута. Математически замкнутость конца цепи описывается определенным граничным условием, с помощью которого в общем решении

(А — «координата» конца цепи) определяется отношение коэффициентов которое при написанной форме решения будет порядка 1.

Но тогда по мере увеличения второй член (в котором быстро станет очень малым по сравнению с первым. Таким образом, почти по всей длине цепи, за исключением лишь малого ее участка вблизи конца, решение имеет вид

в котором убывает по направлению от начала цепи к ее концу.

Следует подчеркнуть, что это затухание не имеет характера диссипативного поглощения (для которого нет причин ввиду отсутствия сопротивлений в цепи); оно может быть наглядно описано как результат отражений колебательного импульса от каждой последующей ячейки цепи.