§ 10. Термодинамические соотношения для диэлектриков в электрическом поле

Вопрос об изменении термодинамических свойств благодаря наличию электрического поля не возникает для проводников. Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, то все изменение его термодинамических величин сводится просто к добавлению энергии создаваемого им в окружающем пространстве поля к его полной энергии.

Эта величина вообще не зависит от термодинамического состойния (в частности, от температуры) тела и потому, например, не сказывается на его энтропии.

Напротив, на термодинамические свойства диэлектриков электрическое поле, проникая внутрь тела, оказывает глубокое влияние. Для изучения этих свойств, прежде всего, определим работу, производимую над теплоизолированным диэлектриком при бесконечно малом изменении поля в нем.

Электрическое поле, в котором находится диэлектрик, надо представлять себе как создаваемое некоторыми посторонними заряженными проводниками, а изменение поля можно тогда рассматривать как результат изменепия зарядов проводников. Предположим для краткости, что имеется всего один проводник с зарядом и потенциалом . Работа, которую надо произвести для того, чтобы увеличить его заряд на бесконечно малую величину равна

это есть механическая работа, производимая заданным полем над зарядом , переносимым из бесконечности (где потенциал поля равен нулю) к поверхности проводника и проходящим, следовательно, разность потенциалов, равную Преобразуем к виду, выраженному через значения поля в окружающем проводник пространстве, заполненном диэлектриком;

Если — проекция вектора электрической индукции на направление нормали к поверхности проводника, внешней по отношению к диэлектрику (и внутренней по отношению к проводнику), то поверхностная плотность зарядов на проводнике равна — , так что

Имея в виду, что потенциал постоянен вдоль всей поверхности проводника, пишем

Последний интеграл справа берется по всему объему вне проводника. Поскольку варьированное поле, как и первоначальное, удовлетворяет уравнению поля, то , так что

Таким образом, получаем окончательно следующую важную формулу:

Подчеркнем, что интегрирование в этой формуле производится по всему полю, в том числе и по области вакуума, если диэлектрическая среда занимает не весь объем пространства вне проводника.

Работа, произведенная над теплоизолированным телом, есть не что иное, как изменение энергии тела при постоянной его энтропии. Поэтому выражение (10,2) должно быть добавлено к термодинамическому соотношению, определяющему бесконечно малое изменение полной энергии тела, включающей в себя также и энергию электрического поля. Обозначив эту энергию посредством 41, имеем, следовательно,

(Т — температура, — энтропия тела). Соответственно для полной свободной энергии имеем

Аналогичные термодинамические соотношения могут быть написаны и для величин, относящихся к единице объема тела. Пусть U, S и — внутренняя энергия, энтропия и масса единицы объема тела. Как известно, обычное термодинамическое соотношение (в отсутствие поля) для внутренней энергии в заданном объеме гласит:

где - химический потенциал вещества. При наличии поля в диэлектрике сюда должен быть добавлен член, взятый из подынтегрального выражения в (10,3):

Для свободной энергии единицы объема диэлектрика имеем соответственно

Полученные соотношения представляют собой основу термодинамики диэлектриков.

Мы видим, что величины U и F являются термодинамическими потенциалами соответственно по отношению к переменным . В частности, можно получить напряженность поля путем дифференцирования этих потенциалов компонентам вектора D:

Свободная энергия в этом отношении удобнее, так как ее дифференцирование должно производиться при постоянной температуре, между тем как внутренняя энергия должна при этом быть выражена через менее удобную величину — энтропию.

Наряду с U и F полезно ввести термодинамические потенциалы, в которых роль независимых переменных играют компоненты вектора Е, а не D. Таковыми являются величины

для дифференциалов которых имеем

Отсюда, в частности, имеем

Обратим внимание на то, что связь между термодинамическими величинами, которые мы обозначаем буквами со знаком и без него, как раз соответствует той, которая уже была введена в § 5 для энергии электростатического поля проводников в пустоте.

Действительно, интеграл можно преобразовать совершенно аналогично тому, как мы это делали в начале § 3, используя при этом уравнение divD = 0 в объеме диэлектрика и граничное условие на поверхности проводников:

(10,11)

Поэтому, например, для внутренней энергии:

в соответствии с определением (5,5).

Полезно сопоставить также формулы для бесконечно малых изменений этих величин, выраженных через заряды и потенциалы проводников (источников поля). Так, для вариации свободной энергии (при заданной температуре) имеем

Для вариации же получим

(10,14)

Можно сказать, что величины без знака являются термодинамическими потенциалами по отношению к зарядам проводников, а величины со знаком отношению к их потенциалам.

Как известно из термодинамики, различные термодинамические потенциалы обладают свойством достигать в состоянии теплового равновесия минимума по отношению к различным изменениям состояния тела. При формулировании этих условий равновесия в электрическом поле необходимо указывать, рассматриваются ли изменения состояния при неизменных зарядах или потенциалах проводников — источников поля. Так, или имеют в равновесии минимум по отношению к изменениям состояния, происходящим при постоянной температуре и, соответственно, постоянных зарядах или потенциалах проводников (то же самое для 41 и 41 справедливо при постоянной энтропии тела).

Если в теле могут происходить какие-либо процессы, не имеющие прямого отношения к электрическому полю (например, химические реакции), то условие равновесия по отношению к этим процессам дается минимумом F при заданных плотности и температуре тела и индукции D в нем либо минимумом F при постоянных плотности, температуре и напряженности поля Е.

До сих пор мы не делали никаких предположений о зависимости D от Е, так что все полученные термодинамические соотношения справедливы при любом характере этой зависимости. Применим их теперь к изотрошюму диэлектрику с линейной зависимостью . В этом случае интегрирование соотношений (10,5) и (10,6) дает

(10,15)

где относятся к диэлектрику в отсутствие поля.

Таким образом, в данном случае величина

представляет собой связанное с наличием поля изменение внутренней энергии (при заданных значениях энтропии и плотности) или изменение свободной энергии (при заданных температуре и плотности) единицы объема диэлектрической среды.

Аналогичные выражения для потенциалов U и

(10,17)

Мы видим, что разности отличаются в этом случае только знаком, как это имело место и для электрического поля в пустоте (§ 5). В диэлектрической среде, однако, такое простое соотношение справедливо только при линейной связи между D и Е.

Выпишем также для дальнейших справок формулы для плотности энтропии 5 и для химического потенциала вещества , следующие из (10,15):

(10,18)

Обе эти величины отличны от нуля, разумеется, только внутри диэлектрика.

Полная свободная энергия получается интегрированием (10,15) по всему пространству. Ввиду (10,11) имеем

Последнее выражение формально совпадает с формулой для энергии электростатического поля проводников в пустоте. К этому же результату можно прийти и непосредственно, исходя из вариации при бесконечно малом изменении зарядов проводников. В данном случае, при линейной связи D с Е, все уравнения поля и граничные условия к ним тоже линейны. Поэтому потенциалы проводников должны быть (как и для поля в пустоте) линейными функциями их зарядов, и интегрирование равенства (10,13) приводит к (10,20).

Подчеркнем, что в этих рассуждениях отнюдь не предполагалось, что диэлектрик заполняет все пространство вне проводников.

Если же последнее имеет место, то можно пойти еще дальше и, используя изложенные в конце § 7 результаты, утверждать следующее. При заданных зарядах проводников введение диэлектрической среды уменьшает в раз вместе с потенциалами проводников также и энергию поля (по сравнению со значениями этих величин для поля в пустоте). Если же поддерживаются постоянными потенциалы проводников, то энергия поля увеличивается в раз (вместе с зарядами проводников).

Задача

Определить высоту h поднятия уровня жидкости, втягиваемой в вертикальный плоский конденсатор.

Решение. При заданных потенциалах обкладок конденсатора должна быть минимальной , в которой надо учесть также и энергию столба жидкости в поле тяжести. Из этого условия легко получается