§ 68. Равновесные конфигурации

Равновесие идеально проводящей жидкости (будем говорить здесь для определенности о плазме), покоящейся в постоянном магнитном поле, описывается уравнениями

Первое из них — уравнение (65,4), в котором положено и введена, для наглядности, плотность электрического тока, связанная с магнитным полем уравнением Максвелла (68,2). Мы рассмотрим в этом параграфе некоторые общие свойства равновесных конфигураций, являющиеся следствием этих уравнений, совершенно не вдаваясь в сложные и многообразные вопросы об их устойчивости

Умножив уравнение (68,1) скалярно на Н или на j, найдем, что

т. е. равны нулю производные давления вдоль магнитных силовых линий и вдоль линий тока. Другими словами, те и другие лежат на поверхностях

(68,5)

их называют магнитными поверхностями. В принципе, каждая магнитная поверхность могла бы быть границей равновесной конфигурации 2).

Уравнение равновесия (68,1—2) можно представить также и в виде

если исходить из уравнения движения, записанного в виде уравнения сохранения импульса (65,7-8). Умножив это уравнение на проинтегрируем его по некоторому объему, ограниченному замкнутой поверхностью. Преобразовав интеграл по частям и заметив, что , получим

После подстановки выражения из (68,6) это равенство принимает вид

(S. Chandrasekhar, Е. Fermi, 1953).

Пусть плазма занимает некоторый конечный объем, вне которого давление и пусть вне ее нет никаких заданных источников поля (жестких проводников с током). Тогда вдали от плазмы поле убывает как и если распространить интегрирование по всему пространству, то интеграл по поверхности обращается в нуль. Но интеграл от заведомо положительной величины не может обратиться в нуль. Отсюда следует невозможность существования ограниченной в пространстве равновесной конфигурации, не поддерживаемой магнитным полем от внешних источников; при наличии же таких источников правая сторона равенства (68,8) сведется к интегралу по их поверхности и условие может, В принципе, быть удовлетворено (В. Д. Шафранов, 1957).

Рассмотрим простейшую неограниченную конфигурацию неограниченно длинный цилиндрический плазменный шнур (или ), однородный вдоль своей длины; в цилиндрической системе координат с осью z вдоль оси шнура все величины в нем зависят только от радиальной координаты . Радиальная компонента должна быть равна нулю; в противном случае в силу уравнения

она обращалась бы в бесконечность при . То же самое относится к в силу уравнения автоматически следующего из (68,2).

Равенство (68,2), написанное в компонентах, дает

Из второй формулы имеем

После этого уравнение (68,1) принимает вид

Здесь возможны два существенно различных частных случая. В одном из них (его называют z-пинчем) . Умножив уравнение (68,10) на и проинтегрировав его по от 0 до радиуса шнура а (с граничным условием ) , получим условие равновесия в виде

(68,11)

где полный ток вдоль шнура (IF. Bennett, 1934).

Удержание равновесной конфигурации осуществляется в этом случае полем продольного тока.

В другом случае Из (68,10) имеем в этом случае

(68,12)

где — продольное магнитное поле вне шнура. Удержание плазмы осуществляется здесь внешним продольным полем.

В произвольной ограниченной в пространстве аксиально-симметричной конфигурации радиальные компоненты могут быть отличны от нуля (в тороидальной конфигурации). Кроме того, все величины могут теперь зависеть не только от , но и от .

Уравнения (68,1 — 3), записанные в компонентах, принимают

(68,13)

Очевидное (уже из векторной записи (68,1)) следствие этих уравнений: если плотность тока распределена азимутально то магнитное поле меридионально Если же магнитное поле азимутально, то можно сделать и более сильное утверждение: плотность тока не только меридиональна, но и вся равновесная конфигурация может быть только -пинчем не зависят от ); в этом легко убедиться, исключив Р из первых двух уравнений (68,13) и воспользовавшись затем остальными уравнениями.

Систему уравнений (68,13-15) можно свести всего к одному уравнению (В. Д. Шафранов, 1957; Н. Grad, 1958).

Для этого введем величины

(68,16)

— магнитный поток и полный ток через круг радиуса , перпендикулярный к оси z.

Из этих определений и уравнений находим меридиональные компоненты поля и плотности

(68,17)

Эти выражения показывают, что градиенты ортогональны соответственно магнитной силовой линии и линии тока. Вспомнив сказанное в начале параграфа о поверхностях (68,5), заключаем отсюда, что величины постоянны на магнитных поверхностях, а тем самым каждые две из величин могут быть выражены в функции только от третьей. В частности,

(68,18)

Азимутальные компоненты поля и тока выражаются через и J с помощью уравнений (68,14):

(68,19)

Наконец, подставив полученные выражения в первое из уравнений (68,13), найдем искомое уравнение

Задаваясь конкретной (произвольно выбранной) зависимостью и решив это уравнение, получим некоторую, в принципе возможную равновесную конфигурацию; распределение поля и токов в ней определяется формулами (68,17) и (68,19), а магнитные поверхности даются равенствами .

Для иллюстрации приведем выражение

(68,21)

являющееся решением уравнения (68,20) при постоянные, причем

Это решение описывает тороидальную конфигурацию, состоящую из вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверхностей ; любая из них может быть принята за границу плазмы, . Самая внутренняя поверхность вырождается в линию в окружность (эту линию называют магнитной осью). Вблизи магнитной оси

Так, если то сечения магнитных поверхностей вблизи оси — эллипсы. При удалении от оси возрастает, а давление падает. Снаружи от поверхности с (граница плазмы) необходимое для поддержания равновесия магнитное поле определяется уравнением (68,20) без правой части, с граничными условиями непрерывности функции и ее нормальной производной.