§ 67. Магнитогидродинамическое течение между параллельными плоскостями
Поучительный пример магнитогидродинамического движения вязкой проводящей жидкости представляет стационарное течение в пространстве между двумя параллельными твердыми плоскостями, причем в перпендикулярном плоскостям направлении приложено однородное магнитное поле 
(J. Hartmann, 1937).
Это движение — простейший аналог пуазейлевого течения в обычной гидродинамике.
Естественно предположить, что скорость жидкости имеет везде одинаковое направление (которое выберем в качестве оси 
она зависит только от координаты z в направлении, перпендикулярном к твердым плоскостям. То же относится и к возникающему благо даря движению жидкости продольному полю 
Давление же Р зависит также и от 
так как в направлении движения имеется градиент давления, поддерживающий стационарное течение. Уравнение 
выполняется тождественно, а из уравнения 
следует, что 
. В силу 
-компоненты уравнения (66,9) сумма
является функцией только 
Поскольку в то же время 
от 
не зависит, то градиент давления 
мог бы быть функцией только 
а фактически (ввиду однородности вдоль оси 
) равен постоянной величине — 
(
— падение давления на длине 
). Далее, 
-компоненты уравнений (66,8—9) дают
Граничные условия на твердых поверхностях требуют равенства нулю скорости вязкой жидкости, а также непрерывности тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля:
где 
- расстояние между твердыми плоскостями, а плоскость 
расположена посередине между ними. Удовлетворяющее этим условиям решение уравнений (67,1-2) есть
Постоянная 
есть скорость жидкости в средней плоскости 
. Ее связь с градиентом давления можно получить, подставив (67,3) в (67,2). Средняя (по сечению) скорость жидкости
Критерием степени влияния магнитного поля на течение жидкости по сравнению с влиянием вязкости оказывается величина
(ее называют числом Гартманна). При 
получается
т. е. обычное пуазейлево течение. Если же 
то
Увеличение магнитного поля делает профиль скоростей более плоским на большей части сечения и уменьшает среднюю скорость движения (при заданном градиенте давления); основное падение скорости происходит в пристеночных слоях с толщиной 
.
Движение жидкости приводит к появлению электрического поля в направлении оси у. В силу стационарности движения rot Е = 0, откуда 
. В жидкости текут токи с плотностью
Но полный ток через сечение жидкости должен быть равен нулю; действительно, поскольку в то же время 
, то
Поэтому имеем
откуда
